משפט ההגדרה

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־18:16, 27 בפברואר 2021 מאת יהודה שמחה (שיחה | תרומות)

(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חזרה למשפטים בלינארית

משפט ההגדרה

יהי V מ"ו נוצר סופית, ויהי B=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\} בסיס ל־V.

יהי W מ"ו נוצר סופית ויהיו \mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n וקטורים כלשהם (לא בהכרח שונים).

אזי קיימת העתקה לינארית יחידה T:V\to W המקיימת:

\begin{align}T(\mathbf{v}_1)&=\mathbf{w}_1\\&\vdots\\T(\mathbf{v}_n)&=\mathbf{w}_n\end{align}

הוכחה

יהי \mathbf{v}\in V. אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס B

\mathbf{v}=a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n

לכן ניתן להגדיר היטב העתקה T על ידי

T(\mathbf{v})=a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n

קל מאד להראות כי T המוגדרת לעיל הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר T(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i).

נותר להוכיח כי T יחידה. אמנם, אם S העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר S(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i), מתקיים:

\begin{align}S(\mathbf{v})&=S(a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n)\\&=a_1S(\mathbf{v}_1)+\cdots+a_nS(\mathbf{v}_n)\\&=a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n\\&=T(\mathbf{v})\end{align}

ולכן S=T.