משפט ההגדרה

מתוך Math-Wiki
הגרסה להדפסה אינה נתמכת עוד וייתכן שיש בה שגיאות תיצוג. נא לעדכן את הסימניות בדפדפן שלך ולהשתמש בפעולת ההדפסה הרגילה של הדפדפן במקום זה.

חזרה למשפטים בלינארית

משפט ההגדרה

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו נוצר סופית, ויהי [math]\displaystyle{ B=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\} }[/math] בסיס ל־[math]\displaystyle{ V }[/math].

יהי [math]\displaystyle{ W }[/math] מ"ו נוצר סופית ויהיו [math]\displaystyle{ \mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n }[/math] וקטורים כלשהם (לא בהכרח שונים).

אזי קיימת העתקה לינארית יחידה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] המקיימת:

[math]\displaystyle{ \begin{align}T(\mathbf{v}_1)&=\mathbf{w}_1\\&\vdots\\T(\mathbf{v}_n)&=\mathbf{w}_n\end{align} }[/math]

הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ \mathbf{v}\in V }[/math]. אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס [math]\displaystyle{ B }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{v}=a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n }[/math]

לכן ניתן להגדיר היטב העתקה [math]\displaystyle{ T }[/math] על ידי

[math]\displaystyle{ T(\mathbf{v})=a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n }[/math]

קל מאד להראות כי [math]\displaystyle{ T }[/math] המוגדרת לעיל הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר [math]\displaystyle{ T(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i }[/math]).

נותר להוכיח כי [math]\displaystyle{ T }[/math] יחידה. אמנם, אם [math]\displaystyle{ S }[/math] העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר [math]\displaystyle{ S(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i }[/math]), מתקיים:

[math]\displaystyle{ \begin{align}S(\mathbf{v})&=S(a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n)\\&=a_1S(\mathbf{v}_1)+\cdots+a_nS(\mathbf{v}_n)\\&=a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n\\&=T(\mathbf{v})\end{align} }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ S=T }[/math].