הבדלים בין גרסאות בדף "משפט המימדים"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
שורה 55: שורה 55:
  
 
<math>dim(U+W)=k+p+m=k+p+k+m-k=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)</math>
 
<math>dim(U+W)=k+p+m=k+p+k+m-k=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)</math>
 +
 +
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]

גרסה מ־00:35, 15 בפברואר 2012

חזרה למשפטים בלינארית

משפט המימדים

יהי V מ"ו נוצר סופית ויהיו U,W תתי מרחב של V. אזי:

dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)

הוכחה

נסמן את הבסיס ל U\cap W ב \{v_1,v_2,...,v_k\}.

כיוון שU\cap W \subseteq U,W, ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס לU ובאופן דומה לבסיס לW.

נסמן את הבסיסים ב \{v_1,...,v_k,u_1,...,u_p\},\{v_1,...,v_k,w_1,...,w_m\}.

נסמן את איחוד הבסיסים ב B=\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_p,w_1,...,w_m\}, ונוכיח כי B הינו בסיס לU+W.

B פורש את U+W

יהי u+w\in U+W. אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים, u+w=a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p+c_1v_1+...+c_kv_k+d_1w_1+...+d_mw_m.

ברור אם כך כי u+w\in span(B)

B בת"ל

ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של איברי B:

a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p+c_1w_1+...+c_mu_m=0.


נסמן v=a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p=-c_1w_1-...-c_mu_m


ברור משני אגפי המשוואה כי v\in U \and v\in W ולכן v\in U\cap W

לכן ל-v יש הצגה כצירוף לינארי של איברי הבסיס לחיתוך, v=d_1v_1+...+d_kv_k.

כמו כן, ל-v יש הצגה יחידה כצירוף לינארי של איברי הבסיס של U ולכן מתקיים:

v=d_1v_1+...+d_kv_k+0\cdot u_1+...+0\cdot u_p = a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p

ולכן b_1=b_2=...=b_p=0.


כעת קיבלנו כי a_1v_1+...+a_kv_k+c_1w_1+...+c_mu_m=0,

אבל זה צירוף לינארי של איברי הבסיס של W ולכן הוא טריוויאלי.


מכאן שהצירוף הלינארי היחיד שמתאפס של איברי B הינו הטריוויאלי ולכן B בת"ל.

ספירת מימדים וסיכום

מצאנו, איפוא, בסיסים לכל תתי המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת:

dim(U+W)=k+p+m=k+p+k+m-k=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)