הבדלים בין גרסאות בדף "משפט המימדים"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מ
שורה 2: שורה 2:
  
 
=משפט המימדים=
 
=משפט המימדים=
−
יהי V מ"ו נוצר סופית ויהיו U,W תתי מרחב של V. אזי:
+
יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>U,W</math> תתי-מרחב של <math>V</math> . אזי:
  
−
:<math>dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)</math>
+
:<math>\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)</math>
  
 
=הוכחה=
 
=הוכחה=
 +
נסמן את הבסיס ל- <math>U\cap W</math> ב- <math>\{v_1,v_2,\dots,v_k\}</math> .
  
−
נסמן את הבסיס ל <math>U\cap W</math> ב <math>\{v_1,v_2,...,v_k\}</math>.
+
כיון ש- <math>U\cap W\subseteq U,W</math> , ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס ל- <math>U</math> ובאופן דומה לבסיס ל- <math>W</math> .  
  
−
כיוון ש<math>U\cap W \subseteq U,W</math>, ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס לU ובאופן דומה לבסיס לW.  
+
נסמן את הבסיסים ב- <math>\{v_1,\dots,v_k,u_1,\dots,u_p\},\{v_1,\dots,v_k,w_1,\dots,w_m\}</math> .
  
−
נסמן את הבסיסים ב <math>\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_p\},\{v_1,...,v_k,w_1,...,w_m\}</math>.
+
נסמן את איחוד הבסיסים ב- <math>B=\{v_1,\dots,v_k,u_1,\dots,u_p,w_1,\dots,w_m\}</math> , ונוכיח כי <math>B</math> הנו בסיס ל- <math>U+W</math> .
  
−
נסמן את איחוד הבסיסים ב <math>B=\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_p,w_1,...,w_m\}</math>, ונוכיח כי B הינו בסיס לU+W.
+
===<math>B</math> פורש את <math>U+W</math>===
−
 
+
יהי <math>u+w\in U+W</math> . אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים, <math>u+w=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1v_1+\cdots+c_kv_k+d_1w_1+\cdots+d_mw_m</math>.
−
===B פורש את U+W===
+
−
 
+
−
יהי <math>u+w\in U+W</math>. אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים, <math>u+w=a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p+c_1v_1+...+c_kv_k+d_1w_1+...+d_mw_m</math>.
+
  
 
ברור אם כך כי <math>u+w\in span(B)</math>
 
ברור אם כך כי <math>u+w\in span(B)</math>
  
−
===B בת"ל===
+
===<math>B</math> בת"ל===
−
 
+
 
ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של איברי B:
 
ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של איברי B:
 
   
 
   

גרסה מ־18:02, 27 בפברואר 2016

חזרה למשפטים בלינארית

משפט המימדים

יהי V מ"ו נוצר סופית ויהיו U,W תתי-מרחב של V . אזי:

\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)

הוכחה

נסמן את הבסיס ל- U\cap W ב- \{v_1,v_2,\dots,v_k\} .

כיון ש- U\cap W\subseteq U,W , ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס ל- U ובאופן דומה לבסיס ל- W .

נסמן את הבסיסים ב- \{v_1,\dots,v_k,u_1,\dots,u_p\},\{v_1,\dots,v_k,w_1,\dots,w_m\} .

נסמן את איחוד הבסיסים ב- B=\{v_1,\dots,v_k,u_1,\dots,u_p,w_1,\dots,w_m\} , ונוכיח כי B הנו בסיס ל- U+W .

B פורש את U+W

יהי u+w\in U+W . אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים, u+w=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1v_1+\cdots+c_kv_k+d_1w_1+\cdots+d_mw_m.

ברור אם כך כי u+w\in span(B)

B בת"ל

ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של איברי B:

a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p+c_1w_1+...+c_mu_m=0.


נסמן v=a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p=-c_1w_1-...-c_mu_m


ברור משני אגפי המשוואה כי v\in U \and v\in W ולכן v\in U\cap W

לכן ל-v יש הצגה כצירוף לינארי של איברי הבסיס לחיתוך, v=d_1v_1+...+d_kv_k.

כמו כן, ל-v יש הצגה יחידה כצירוף לינארי של איברי הבסיס של U ולכן מתקיים:

v=d_1v_1+...+d_kv_k+0\cdot u_1+...+0\cdot u_p = a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p

ולכן b_1=b_2=...=b_p=0.


כעת קיבלנו כי a_1v_1+...+a_kv_k+c_1w_1+...+c_mu_m=0,

אבל זה צירוף לינארי של איברי הבסיס של W ולכן הוא טריוויאלי.


מכאן שהצירוף הלינארי היחיד שמתאפס של איברי B הינו הטריוויאלי ולכן B בת"ל.

ספירת מימדים וסיכום

מצאנו, איפוא, בסיסים לכל תתי המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת:

dim(U+W)=k+p+m=k+p+k+m-k=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=משפט_המימדים&oldid=65468