שינויים
חזרה ל[[משפטים/לינארית|משפטים בלינארית]]
=משפט המימדיםהממדים=יהי <math>V </math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>U,W תתי מרחב </math> תת־מרחבים של <math>V</math> . אזי: :<math>\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)</math>
=הוכחה=
נסמן את הבסיס ל־<math>U\cap W</math> ב־<math>\{v_1,\ldots,v_k\}</math> .
נסמן את איחוד הבסיסים ב <math>B=\{v_1,...\ldots,v_k,u_1,...\ldots,u_p\},\{v_1,...,v_k,w_1,...\ldots,w_m\}</math>. נסמן את איחוד הבסיסים ב , ונוכיח כי <math>B=\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_p,w_1,...,w_m\}</math>, ונוכיח כי B הינו הנו בסיס לUל־<math>U+W</math> .
===B פורש את U+W===
יהי <math>u+w\in U+W</math>. אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים, :<math>u+w=a_1v_1+...\cdots+a_kv_k+b_1u_1+...\cdots+b_pu_p+c_1v_1+...\cdots+c_kv_k+d_1w_1+...\cdots+d_mw_m</math>. ברור אם כך כי <math>u+w\in \text{span}(B)</math>
===B בת"ל===
ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של אברי <math>B</math> :
:<math>a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1w_1+\cdots+c_mw_m=0</math>
נסמן <math>v=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p=-c_1w_1-\cdots-c_mw_m</math>
כמו כן, ל־<math>v</math> יש הצגה '''יחידה''' כצירוף לינארי של אברי הבסיס של <math>U</math> ולכן מתקיים:
:<math>v=d_1v_1+\cdots+d_kv_k+0\cdot u_1+\cdots+0\cdot u_p=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p</math>
ולכן <math>b_1=\cdots=b_p=0</math> .
===ספירת ממדים וסיכום===מצאנו אפוא, בסיסים לכל תת־המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת::<math>\dim(U+W)=k+p+m=k+p+k+m-k=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)</math>
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]