הבדלים בין גרסאות בדף "משפט המימדים"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מ (B בת"ל)
 
שורה 1: שורה 1:
 
חזרה ל[[משפטים/לינארית|משפטים בלינארית]]
 
חזרה ל[[משפטים/לינארית|משפטים בלינארית]]
  
=משפט המימדים=
+
=משפט הממדים=
יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>U,W</math> תתי-מרחב של <math>V</math> . אזי:
+
יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>U,W</math> תת־מרחבים של <math>V</math> . אזי:
 
+
 
:<math>\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)</math>
 
:<math>\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)</math>
  
 
=הוכחה=
 
=הוכחה=
נסמן את הבסיס ל- <math>U\cap W</math> ב- <math>\{v_1,v_2,\dots,v_k\}</math> .
+
נסמן את הבסיס ל־<math>U\cap W</math> ב־<math>\{v_1,\ldots,v_k\}</math> .
 
+
כיון ש- <math>U\cap W\subseteq U,W</math> , ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס ל- <math>U</math> ובאופן דומה לבסיס ל- <math>W</math> .
+
 
+
נסמן את הבסיסים ב- <math>\{v_1,\dots,v_k,u_1,\dots,u_p\},\{v_1,\dots,v_k,w_1,\dots,w_m\}</math> .
+
 
+
נסמן את איחוד הבסיסים ב- <math>B=\{v_1,\dots,v_k,u_1,\dots,u_p,w_1,\dots,w_m\}</math> , ונוכיח כי <math>B</math> הנו בסיס ל- <math>U+W</math> .
+
 
+
===<math>B</math> פורש את <math>U+W</math>===
+
יהי <math>u+w\in U+W</math> . אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים, <math>u+w=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1v_1+\cdots+c_kv_k+d_1w_1+\cdots+d_mw_m</math>.
+
 
+
ברור אם כך כי <math>u+w\in span(B)</math>
+
 
+
===<math>B</math> בת"ל===
+
ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של איברי B:
+
+
:<math>a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p+c_1w_1+...+c_mw_m=0</math>.
+
 
+
 
+
נסמן <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p=-c_1w_1-...-c_mw_m</math>
+
 
+
 
+
ברור משני אגפי המשוואה כי <math>v\in U \and v\in W</math> ולכן <math>v\in U\cap W</math>
+
  
לכן ל-v יש הצגה כצירוף לינארי של איברי הבסיס לחיתוך, <math>v=d_1v_1+...+d_kv_k</math>.  
+
כיון ש־<math>U\cap W\sube U,W</math> , ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס ל־<math>U</math> ובאופן דומה לבסיס ל־<math>W</math> .  
  
כמו כן, ל-v יש הצגה '''יחידה''' כצירוף לינארי של איברי הבסיס של U ולכן מתקיים:
+
נסמן את הבסיסים <math>\{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p\},\{v_1,\ldots,v_k,w_1,\ldots,w_m\}</math> .
  
::<math>v=d_1v_1+...+d_kv_k+0\cdot u_1+...+0\cdot u_p = a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p</math>
+
נסמן את איחוד הבסיסים <math>B=\{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p,w_1,\ldots,w_m\}</math> , ונוכיח כי <math>B</math> הנו בסיס ל־<math>U+W</math> .
  
ולכן <math>b_1=b_2=...=b_p=0</math>.
+
===B פורש את U+W===
 +
יהי <math>u+w\in U+W</math> . אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים
 +
:<math>u+w=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1v_1+\cdots+c_kv_k+d_1w_1+\cdots+d_mw_m</math>
 +
ברור אם כך כי <math>u+w\in\text{span}(B)</math>
  
 +
===B בת"ל===
 +
ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של אברי <math>B</math> :
 +
:<math>a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1w_1+\cdots+c_mw_m=0</math>
 +
נסמן <math>v=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p=-c_1w_1-\cdots-c_mw_m</math>
  
כעת קיבלנו כי <math>a_1v_1+...+a_kv_k+c_1w_1+...+c_mu_m=0</math>,
+
ברור משני אגפי המשוואה כי <math>v\in U\and v\in W</math> ולכן <math>v\in U\cap W</math>
  
אבל זה צירוף לינארי של איברי הבסיס של W ולכן הוא טריוויאלי.
+
לכן ל־<math>v</math> יש הצגה כצירוף לינארי של אברי הבסיס לחיתוך, <math>v=d_1v_1+\cdots+d_kv_k</math> .  
  
 +
כמו כן, ל־<math>v</math> יש הצגה '''יחידה''' כצירוף לינארי של אברי הבסיס של <math>U</math> ולכן מתקיים:
 +
:<math>v=d_1v_1+\cdots+d_kv_k+0\cdot u_1+\cdots+0\cdot u_p=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p</math>
 +
ולכן <math>b_1=\cdots=b_p=0</math> .
  
מכאן שהצירוף הלינארי היחיד שמתאפס של איברי B הינו הטריוויאלי ולכן B בת"ל.
+
כעת קיבלנו כי <math>a_1v_1+\cdots+a_kv_k+c_1w_1+\cdots+c_mu_m=0</math> ,
  
===ספירת מימדים וסיכום===
+
אבל זה צירוף לינארי של אברי הבסיס של <math>W</math> ולכן הוא טריוויאלי.
  
מצאנו, איפוא, בסיסים לכל תתי המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת:
+
מכאן שהצירוף הלינארי היחיד המתאפס של אברי <math>B</math> הנו הטריוויאלי ולכן <math>B</math> בת"ל.
  
<math>dim(U+W)=k+p+m=k+p+k+m-k=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)</math>
+
===ספירת ממדים וסיכום===
 +
מצאנו אפוא, בסיסים לכל תת־המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת:
 +
:<math>\dim(U+W)=k+p+m=k+p+k+m-k=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)</math>
  
 
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
 
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]

גרסה אחרונה מ־13:38, 2 בספטמבר 2018

חזרה למשפטים בלינארית

משפט הממדים

יהי V מ"ו נוצר סופית ויהיו U,W תת־מרחבים של V . אזי:

\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)

הוכחה

נסמן את הבסיס ל־U\cap W ב־\{v_1,\ldots,v_k\} .

כיון ש־U\cap W\sube U,W , ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס ל־U ובאופן דומה לבסיס ל־W .

נסמן את הבסיסים \{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p\},\{v_1,\ldots,v_k,w_1,\ldots,w_m\} .

נסמן את איחוד הבסיסים B=\{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p,w_1,\ldots,w_m\} , ונוכיח כי B הנו בסיס ל־U+W .

B פורש את U+W

יהי u+w\in U+W . אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים

u+w=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1v_1+\cdots+c_kv_k+d_1w_1+\cdots+d_mw_m

ברור אם כך כי u+w\in\text{span}(B)

B בת"ל

ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של אברי B :

a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1w_1+\cdots+c_mw_m=0

נסמן v=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p=-c_1w_1-\cdots-c_mw_m

ברור משני אגפי המשוואה כי v\in U\and v\in W ולכן v\in U\cap W

לכן ל־v יש הצגה כצירוף לינארי של אברי הבסיס לחיתוך, v=d_1v_1+\cdots+d_kv_k .

כמו כן, ל־v יש הצגה יחידה כצירוף לינארי של אברי הבסיס של U ולכן מתקיים:

v=d_1v_1+\cdots+d_kv_k+0\cdot u_1+\cdots+0\cdot u_p=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p

ולכן b_1=\cdots=b_p=0 .

כעת קיבלנו כי a_1v_1+\cdots+a_kv_k+c_1w_1+\cdots+c_mu_m=0 ,

אבל זה צירוף לינארי של אברי הבסיס של W ולכן הוא טריוויאלי.

מכאן שהצירוף הלינארי היחיד המתאפס של אברי B הנו הטריוויאלי ולכן B בת"ל.

ספירת ממדים וסיכום

מצאנו אפוא, בסיסים לכל תת־המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת:

\dim(U+W)=k+p+m=k+p+k+m-k=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)