משפט המימדים

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־13:38, 2 בספטמבר 2018 מאת יהודה שמחה (שיחה | תרומות)

(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חזרה למשפטים בלינארית

משפט הממדים

יהי V מ"ו נוצר סופית ויהיו U,W תת־מרחבים של V . אזי:

\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)

הוכחה

נסמן את הבסיס ל־U\cap W ב־\{v_1,\ldots,v_k\} .

כיון ש־U\cap W\sube U,W , ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס ל־U ובאופן דומה לבסיס ל־W .

נסמן את הבסיסים \{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p\},\{v_1,\ldots,v_k,w_1,\ldots,w_m\} .

נסמן את איחוד הבסיסים B=\{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p,w_1,\ldots,w_m\} , ונוכיח כי B הנו בסיס ל־U+W .

B פורש את U+W

יהי u+w\in U+W . אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים

u+w=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1v_1+\cdots+c_kv_k+d_1w_1+\cdots+d_mw_m

ברור אם כך כי u+w\in\text{span}(B)

B בת"ל

ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של אברי B :

a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1w_1+\cdots+c_mw_m=0

נסמן v=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p=-c_1w_1-\cdots-c_mw_m

ברור משני אגפי המשוואה כי v\in U\and v\in W ולכן v\in U\cap W

לכן ל־v יש הצגה כצירוף לינארי של אברי הבסיס לחיתוך, v=d_1v_1+\cdots+d_kv_k .

כמו כן, ל־v יש הצגה יחידה כצירוף לינארי של אברי הבסיס של U ולכן מתקיים:

v=d_1v_1+\cdots+d_kv_k+0\cdot u_1+\cdots+0\cdot u_p=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p

ולכן b_1=\cdots=b_p=0 .

כעת קיבלנו כי a_1v_1+\cdots+a_kv_k+c_1w_1+\cdots+c_mu_m=0 ,

אבל זה צירוף לינארי של אברי הבסיס של W ולכן הוא טריוויאלי.

מכאן שהצירוף הלינארי היחיד המתאפס של אברי B הנו הטריוויאלי ולכן B בת"ל.

ספירת ממדים וסיכום

מצאנו אפוא, בסיסים לכל תת־המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת:

\dim(U+W)=k+p+m=k+p+k+m-k=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)