שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט ז'ורדן

נוספו 2,366 בתים, 14:55, 19 בנובמבר 2013
/* תכונות של מטריצת ז'ורדן */
תהי A מטריצה ריבועית, כך ש[[הפולינום האופייני]] שלה מתפרק לגורמים לינאריים. אזי A דומה למטריצה אלכסונית בלוקים, כאשר כל בלוקיה הם בצורת ג'ורדן.
בנוסף, צורה זו יחידה עד כדי סדר הבלוקים.
 
==תכונות של מטריצת ז'ורדן==
תהי מטריצה <math>A</math> הניתנת לז'ירדון. אזי:
*כמות בלוקי הז'ורדן בצורת הז'ורדן המתאימים לע"ע מסויים, היא הריבוי הגיאומטרי של אותו ע"ע.
*גודל בולק הז'ורדן המקסימלי של ע"ע מסויים הוא החזקה של הגורם הלינארי המתאים לו בפולינום המינימלי.
 
'''דוגמא'''
 
מהן צורת הז'ורדן האפשריות עבור מטריצה בעלת פולינום אופייני <math>f_A(x)=(x-1)^4(x-2)^3</math> ופולינום מינימלי
<math>m_A(x)=(x-1)^2(x-2)^3</math>
 
'''תשובה'''
 
*<math>J_2(1)\oplus J_2(1) \oplus J_3(2)</math>
*<math>J_2(1)\oplus J_1(1) \oplus J_1(1) \oplus J_3(2)</math>
 
 
'''דוגמא'''
 
הוכיחו כי כל מטריצה דומה למשוחלפת של עצמה.
 
'''דוגמא'''
 
הוכיחו כל כל שתי מטריצות מרוכבות ריבועיות מסדר 3 בעלות אותו הפולינום האופייני ואותו הפולינום המינימלי דומות
 
'''דוגמא'''
 
הוכיחו/הפריכו: מטריצות מרוכבות בעלות אותו פולינום אופייני, אותו פולינום מינימלי ואותו ריבוי גיאומטרי עבור כל ערך עצמי הן דומות
 
'''הפרכה'''
 
*<math>J_3(0)\oplus J_3(0) \oplus J_1(0)</math>
*<math>J_3(0)\oplus J_2(0) \oplus J_2(0)</math>
 
 
'''דוגמא'''
 
תהיינה שתי מטריצות משולשיות עליונות עם אותו מספר קבוע על האלכסון, כך שכל הקבועים באלכסון המשני גדולים ממש מאפס. הוכיחו כי הן דומות.
==הוכחה ומציאת מטריצה מז'רדנת==
[[מדיה:JordanAll.pdf|סיכום בנושא משפט ז'ורדן על ידי דר' בועז צבאן]]
 
[[מדיה:זרדון מטריצה.pdf|סיכום הכללים, האלגוריתם ודוגמאות על ידי גיא בלשר]] - [[משתמש:גיא|גיא]]
==אלגוריתם לז'ירדון מטריצה==
:*נמצא בסיס ל <math>V_\lambda\cap C([A-\lambda I]^{k-1})</math>באופן הבא:
::*עבור כל וקטור x בבסיס למרחב הפתרונות נוסיף את כל הוקטורים במסלול <math>(A-\lambda I)^{k-1}u_x, (A-\lambda I)^{k-2}u_x,...,(A-\lambda I)u_x,u_x</math> לבסיס המז'רדן בסדר משמאל לימין.  :*באופן דומה נמצא בסיס עבור <math>V_\lambda\cap C([A-\lambda I]^{k-2})</math> ונוסיף ממנו איברים לבסיס שמצאנו עד כה ובלבד שלא תיווצר תלות לינארית.  :*נמשיך בתהליך עבור <math>V_\lambda\cap C([A-\lambda I]^{k-3}),...,V_\lambda</math> עד שיהיו לנו וקטורים בבסיס כמספר הריבוי האלגברי של <math>\lambda</math>.
*אחד נאחד את הבסיסים המז'רדנים למרחבים המוכללים לכדי בסיס B למרחב כולו, זהו הבסיס המז'רדן של המטריצה
*שים נשים את איברי הבסיס B בעמודות מטריצה P. מתקיים כי <math>J=P^{-1}AP</math> הינה צורת הז'ורדן של המטריצה A.
==דוגמאות==