משפט ז'ורדן

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־16:10, 3 בדצמבר 2012 מאת ארז שיינר (שיחה | תרומות) (ז'ירדון של מטריצה עם ע"ע יחיד)

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בלוק ז'ורדן

בלוק ז'ורדן הינו מטריצה ריבועית מהצורה

J_n(\lambda):=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots &\vdots \\\vdots & \ddots & \ddots &\lambda & 1\\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda \end{pmatrix}


לדוגמא,

J_3(0)=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}, J_3(2)=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}

נזכר בסימון של סכום ישר של מטריצות, לדוגמא: J_1(2)\oplus J_2(0)\oplus J_2(2)= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2\end{pmatrix}

משפט ז'ורדן

תהי A מטריצה ריבועית, כך שהפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים. אזי A דומה למטריצה אלכסונית בלוקים, כאשר כל בלוקיה הם בצורת ג'ורדן. בנוסף, צורה זו יחידה עד כדי סדר הבלוקים.

הוכחה ומציאת מטריצה מז'רדנת

סיכום בנושא משפט ז'ורדן על ידי דר' בועז צבאן


דוגמאות

ז'ירדון של מטריצה ניליפוטנטית

מצאו בסיס מז'רדן למטריצה הבאה:

A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 0 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{pmatrix}


  • ראשית, נחשב את הפולינום האופייני p_A(x)=x^5, כלומר זוהי מטריצה ניליפוטנטית
  • שנית, נמצא את הפולינום המינימלי m_A(x)=x^3, בפרט המטריצה ניליפוטנטית מסדר 3
  • כעת נמצא בסיס ל C(A^{3-1}) מהצורה A^2v_1,A^2v_2,...,A^2v_k באופן הבא:
    • נבחר עמודות של המטריצה A^2 המהוות בסיס ל- C(A^2)
    • כל עמודה i שבחרנו ניתן להציג כ- A^2e_i


A^2=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & -1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{pmatrix}


לכן בסיס למרחב העמודות הינו A^2e_1

  • כעת המסלול A^2e_1,Ae_1,e_1 הוא חלק של הבסיס המז'רדן משמאל לימין. שימו לב שסדר הוקטורים בבסיס המז'רדן חשוב מאד.


  • השלב הבא הוא להשלים את הבסיס שמצאנו (A^2e_1) לבסיס למרחב N(A)\cap C(A^{3-2})=N(A)\cap C(A) מהצורה Av_1,Av_2,...,Av_p באופן הבא:
    • נבחר בסיס u_1,...,u_r למרחב העמודות C(A)
    • נפתור את המערכת A(a_1u_1+...+a_ru_r) על מנת למצוא בסיס ל N(A)\cap C(A)
    • נשמיט וקטורים על מנת שלא תהא תלות לינארית בבסיס שבחרנו עד כה


בדוגמא שלנו, העמודה הראשונה, השנייה והחמישית מהוות בסיס למרחב העמודות של A:

u_1= (0,0,0,1,0)
u_2= (1,0,-1,0,0)
u_3= (-1,1,1,0,0)


כעת נפתור את המערכת a_1Au_1+a_2Au_2+a_3Au_3=0, זהו בדיוק מרחב האפס של המטריצה שעמודותיה הן Au_1,Au_2,Au_3:


N  \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1  \\
0 & 0 & 0  \\
-1 & 0 & -1  \\
0 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 0  \\

\end{pmatrix}  = span\{(0,1,0),(-1,0,1)\}


כיוון שאלו המקדמים a_1,a_2,a_3 אנו מקבלים את בסיס ל N(A)\cap C(A):

\{u_2,u_3-u_1\}=\{Ae_2,A(e_5-e_1)\}


הערה: שימו לב שu3=Ae_5 כיוון שזו העמודה החמישית


כיוון ש Ae_2=A^2e_1 אנו משמטים איבר זה ונשארים עם A(e_5-e_1)


  • המסלול A(e_5-e_1),e_5-e_1 משלים לנו את הבסיס המז'רדן.


סיכום

הבסיס המז'רדן הינו

A^2e_1,Ae_1,e_1,A(e_5-e_1),e_5-e_1

נסמן בP את המטריצה שעמודותיה הן איברי הבסיס

P=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\

\end{pmatrix}


אזי (לא במפתיע) מתקיימת המשוואה הבאה:


P^{-1}AP=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{pmatrix}

כלומר זו צורת הז'ורדן של המטריצה A.

ז'ירדון של מטריצה עם ע"ע יחיד

מצאו בסיס מז'רדן למטריצה הבאה:

A=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 2 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\
\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 2.5 & 2 \\

\end{pmatrix}