הבדלים בין גרסאות בדף "משפט לגראנז' (אינפי)"

גרסה אחרונה מ־15:19, 27 בספטמבר 2016

משפט לגראנז'

תהי $f$ פונקציה רציפה בקטע $[a,b]$ וגזירה בקטע $(a,b)$ .

אזי קיימת נקודה $c\in (a,b)$ עבורה מתקיים $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ .

הוכחה

נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות $\big(a,f(a)\big)\ ,\ \big(b,f(b)\big)$ :

y=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)

נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על-מנת לקבל את התוצאה הרצויה.

g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)

$g$ רציפה ב- $[a,b]$ כהפרש פונקציות רציפות בקטע, וגזירה ב- $(a,b)$ כהפרש פונקציות גזירות בקטע.

קל לראות כי $g(a)=g(b)=0$ . לכן לפי תנאי משפט רול קיימת נקודה $c\in(a,b)$ עבורה מתקיים $g'(c)=0$ .

אבל:

g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0

כלומר

f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

כפי שרצינו. $\blacksquare$

ראו גם

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 ==משפט לגראנז'==
-תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math>.
+תהי <math>f</math> פונקציה רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math> .
-אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
+אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> .
 ===הוכחה===
+נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות <math>\big(a,f(a)\big)\ ,\ \big(b,f(b)\big)</math> :
-נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות <math>(a,f(a)),(b,f(b))</math>:
+:<math>y=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)</math>
+נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על-מנת לקבל את התוצאה הרצויה.
+:<math>g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)</math>
+<math>g</math> רציפה ב- <math>[a,b]</math> כהפרש פונקציות רציפות בקטע, וגזירה ב- <math>(a,b)</math> כהפרש פונקציות גזירות בקטע.
-::<math>y-f(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)</math>
+קל לראות כי <math>g(a)=g(b)=0</math> . לכן לפי תנאי משפט רול קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> עבורה מתקיים <math>g'(c)=0</math> .
-נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על מנת לקבל את התוצאה הרצוייה.
-::<math>g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)-f(a)</math>
-קל לראות כי <math>g(a)=g(b)=0</math> ו-g מקיימת את שאר תנאיי משפט רול. לכן קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>g'(c)=0</math>. אבל:
-::<math>0=g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
+אבל:
+:<math>g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0</math>
 כלומר
+:<math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
-::<math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
+כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>
-כפי שרצינו.
-== ראו גם ==
-* [[משפט פרמה (אינפי)|משפט פרמה]]
+==ראו גם==
-* [[משפט רול]]
+*[[משפט פרמה (אינפי)|משפט פרמה]]
+*[[משפט רול]]
 [[קטגוריה:אינפי]]

הבדלים בין גרסאות בדף "משפט לגראנז' (אינפי)"

גרסה אחרונה מ־15:19, 27 בספטמבר 2016

משפט לגראנז'

הוכחה

ראו גם

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים