הבדלים בין גרסאות בדף "משפט לגראנז' (אינפי)"

גרסה מ־15:18, 27 בספטמבר 2016

משפט לגראנז'

תהי $f$ פונקציה רציפה בקטע $[a,b]$ וגזירה בקטע $(a,b)$ .

אזי קיימת נקודה $c\in (a,b)$ עבורה מתקיים $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ .

הוכחה

נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות $\big(a,f(a)\big)\ ,\ \big(b,f(b)\big)$ :

y=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)

נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על-מנת לקבל את התוצאה הרצויה.

g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)

$g$ רציפה ב- $[a,b]$ כהפרש פונקציות רציפות בקטע, וגזירה ב- $(a,b)$ כהפרש פונקציות גזירות בקטע.

קל לראות כי $g(a)=g(b)=0$ ו- $g$ . לכן לפי תנאי משפט רול קיימת נקודה $c\in(a,b)$ עבורה מתקיים $g'(c)=0$ .

אבל:

g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0

כלומר

f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

כפי שרצינו. $\blacksquare$

ראו גם

@@ שורה 2: / שורה 2: @@
 תהי <math>f</math> פונקציה רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math> .
-אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> .
+אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> .
 ===הוכחה===
-נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות <math>\big(a,f(a)\big)\ ,\ \big(b,f(b)\big)</math>:
+נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות <math>\big(a,f(a)\big)\ ,\ \big(b,f(b)\big)</math> :
-:<math>y-f(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (x-a)</math>
+:<math>y=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)</math>
-נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על מנת לקבל את התוצאה הרצויה.
+נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על-מנת לקבל את התוצאה הרצויה.
-:<math>g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (x-a)-f(a)</math>
+:<math>g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)</math>
+<math>g</math> רציפה ב- <math>[a,b]</math> כהפרש פונקציות רציפות בקטע, וגזירה ב- <math>(a,b)</math> כהפרש פונקציות גזירות בקטע.
-קל לראות כי <math>g(a)=g(b)=0</math> ו- <math>g</math> מקיימת את שאר תנאי משפט רול. לכן קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>g'(c)=0</math>. אבל:
+קל לראות כי <math>g(a)=g(b)=0</math> ו- <math>g</math> . לכן לפי תנאי משפט רול קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> עבורה מתקיים <math>g'(c)=0</math> .
-:<math>0=g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
+אבל:
+:<math>g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0</math>
 כלומר
 :<math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>

הבדלים בין גרסאות בדף "משפט לגראנז' (אינפי)"

גרסה מ־15:18, 27 בספטמבר 2016

משפט לגראנז'

הוכחה

ראו גם

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים