משפט לגראנז' (אינפי)

משפט לגראנז'

תהי $f$ פונקציה רציפה בקטע $[a,b]$ וגזירה בקטע $(a,b)$ .

אזי קיימת נקודה $c\in (a,b)$ עבורה מתקיים $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ .

הוכחה

נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות $\big(a,f(a)\big)\ ,\ \big(b,f(b)\big)$:

$y-f(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (x-a)$

נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על מנת לקבל את התוצאה הרצויה.

$g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (x-a)-f(a)$

קל לראות כי $g(a)=g(b)=0$ ו- $g$ מקיימת את שאר תנאי משפט רול. לכן קיימת נקודה $c\in (a,b)$ עבורה מתקיים $g'(c)=0$. אבל:

$0=g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

כלומר

$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

כפי שרצינו. $\blacksquare$

ראו גם

• משפט פרמה
• משפט רול