הבדלים בין גרסאות בדף "משפט לייבניץ"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים)
 
(2 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות)
שורה 2: שורה 2:
 
תהי <math>\{a_n\}</math> סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:
 
תהי <math>\{a_n\}</math> סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:
  
*הטור <math>\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^na_n</math> מתכנס
+
*הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n</math> מתכנס
*השארית <math>R_k=\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^na_n-\sum\limits_{n=1}^k (-1)^na_n</math> מקיימת <math>|R_k|\le a_{k+1}</math>
+
*השארית <math>R_k=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n-\sum_{n=1}^k(-1)^na_n</math> מקיימת <math>|R_k|\le |a_{k+1}|</math>
  
 
===הוכחה===
 
===הוכחה===
 
נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.
 
נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.
  
יהי <math>\epsilon>0</math>, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני אברים קטן מ- <math>\epsilon</math>.
+
יהי <math>\epsilon>0</math>, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני אברים קטן מ- <math>\epsilon</math> .
  
*<math>\Big|S_m-S_n\Big|=\Bigg|(-1)^ma_m+\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\Bigg|=\Bigg|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-\cdots\Bigg|</math>
+
*<math>\Big|S_m-S_n\Big|=\bigg|(-1)^ma_m+\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\bigg|=\bigg|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-\cdots\bigg|</math>
  
 
נראה כי כל אבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:
 
נראה כי כל אבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:
שורה 23: שורה 23:
 
וכיון ש- <math>a_n</math> שואפת לאפס, החל ממקום מסוים זה קטן מ- <math>\epsilon</math> (ללא תלות ב- <math>m</math>).
 
וכיון ש- <math>a_n</math> שואפת לאפס, החל ממקום מסוים זה קטן מ- <math>\epsilon</math> (ללא תלות ב- <math>m</math>).
  
לפי טיעון דומה, <math>\Bigg|\sum\limits_{n=k+1}^K (-1)^na_n\Bigg|=\Bigg|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-\cdots\Bigg|\le a_{k+1}</math> ולכן
+
לפי טיעון דומה, <math>\left|\displaystyle\sum_{n=k+1}^K(-1)^na_n\right|=\bigg|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-\cdots\bigg|\le a_{k+1}</math> ולכן
  
:<math>|R_k|=\lim_{K\to\infty}\Bigg|\sum\limits_{n=k+1}^K (-1)^na_n\Bigg|\le a_{k+1}</math>
+
:<math>|R_k|=\displaystyle\lim_{K\to\infty}\left|\sum\limits_{n=k+1}^K(-1)^na_n\right|\le a_{k+1}</math>
  
 
כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>
 
כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>
  
 
[[קטגוריה:אינפי]]
 
[[קטגוריה:אינפי]]

גרסה אחרונה מ־17:51, 9 ביולי 2022

משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים

תהי \{a_n\} סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:

  • הטור \displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n מתכנס
  • השארית R_k=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n-\sum_{n=1}^k(-1)^na_n מקיימת |R_k|\le |a_{k+1}|

הוכחה

נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.

יהי \epsilon>0, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני אברים קטן מ- \epsilon .

  • \Big|S_m-S_n\Big|=\bigg|(-1)^ma_m+\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\bigg|=\bigg|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-\cdots\bigg|

נראה כי כל אבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:

-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}<0

לכן

a_{m-2}-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}+0

כלומר

0<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}

וכן הלאה עד שנקבל

\Big|S_m-S_n\Big|<a_{n+1}

וכיון ש- a_n שואפת לאפס, החל ממקום מסוים זה קטן מ- \epsilon (ללא תלות ב- m).

לפי טיעון דומה, \left|\displaystyle\sum_{n=k+1}^K(-1)^na_n\right|=\bigg|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-\cdots\bigg|\le a_{k+1} ולכן

|R_k|=\displaystyle\lim_{K\to\infty}\left|\sum\limits_{n=k+1}^K(-1)^na_n\right|\le a_{k+1}

כפי שרצינו. \blacksquare