הבדלים בין גרסאות בדף "משפט לייבניץ"

גרסה מ־21:16, 27 בינואר 2016

משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים

תהי $\{a_n\}$ סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:

הטור $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^na_n$ מתכנס
השארית $R_k=\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^na_n-\sum\limits_{n=1}^k (-1)^na_n$ מקיימת $|R_k|\le a_{k+1}$

הוכחה

נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.

יהי $\epsilon>0$ , צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני איברים קטן מ- $\epsilon$ .

$\Big|S_m-S_n\Big|=\Bigg|(-1)^ma_m+\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\Bigg|=\Bigg|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-\cdots\Bigg|$

נראה כי כל איבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:

-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}<0

לכן

a_{m-2}-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}+0

כלומר

0<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}

וכן הלאה עד שנקבל

|S_m-S_n|<a_{n+1}

וכיון ש $a_n$ שואפת לאפס, החל ממקום מסויים זה קטן מ- $\epsilon$ (ללא תלות ב- $m$ ).

לפי טיעון דומה, $\Bigg|\sum\limits_{n=k+1}^K (-1)^na_n\Bigg|=\Bigg|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-\cdots\Bigg|\le a_{k+1}$ ולכן

|R_k|=\lim_{K\to\infty}\Bigg|\sum\limits_{n=k+1}^K (-1)^na_n\Bigg|\le a_{k+1}

כפי שרצינו. $\blacksquare$

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 ==משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים==
-תהי <math>a_n</math> סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:
+תהי <math>\{a_n\}</math> סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:
-*הטור <math>\sum_{n=1}^\infty (-1)^na_n</math> מתכנס
+*הטור <math>\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^na_n</math> מתכנס
-*השארית <math>R_k=\sum_{n=1}^\infty (-1)^na_n-\sum_{n=1}^k (-1)^na_n</math> מקיימת <math>|R_k|\leq a_{k+1}</math>
+*השארית <math>R_k=\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^na_n-\sum\limits_{n=1}^k (-1)^na_n</math> מקיימת <math>|R_k|\le a_{k+1}</math>
 ===הוכחה===
-נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הינה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.
+נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.
-יהי אפסילון גדול מאפס, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני איברים קטן מאפסילון.
+יהי <math>\epsilon>0</math>, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני איברים קטן מ- <math>\epsilon</math>.
-*<math>|S_m-S_n|=|(-1)^ma_m+...+(-1)^{n+1}a_{n+1}|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-...| </math>
+*<math>\Big|S_m-S_n\Big|=\Bigg|(-1)^ma_m+\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\Bigg|=\Bigg|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-\cdots\Bigg|</math>
 נראה כי כל איבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:
+:<math>-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}<0</math>
-::<math>-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}<0</math>
 לכן
+:<math>a_{m-2}-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}+0</math>
-::<math>a_{m-2}-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}+0</math>
 כלומר
+:<math>0<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}</math>
-::<math>0<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}</math>
 וכן הלאה עד שנקבל
+:<math>|S_m-S_n|<a_{n+1}</math>
-::<math>|S_m-S_n|<a_{n+1}</math>
+וכיון ש<math>a_n</math> שואפת לאפס, החל ממקום מסויים זה קטן מ- <math>\epsilon</math> (ללא תלות ב- <math>m</math>).
-וכיוון ש<math>a_n</math> שואפת לאפס, החל ממקום מסויים זה קטן מאפסילון (ללא תלות ב-m).
-לפי טיעון דומה, <math>|\sum_{n=k+1}^K (-1)^na_n|=|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-...|\leq a_{k+1}</math> ולכן
+לפי טיעון דומה, <math>\Bigg|\sum\limits_{n=k+1}^K (-1)^na_n\Bigg|=\Bigg|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-\cdots\Bigg|\le a_{k+1}</math> ולכן
-::<math>|R_k|=\lim_{K\rightarrow \infty}|\sum_{n=k+1}^K (-1)^na_n|\leq a_{k+1}</math>
+:<math>|R_k|=\lim_{K\to\infty}\Bigg|\sum\limits_{n=k+1}^K (-1)^na_n\Bigg|\le a_{k+1}</math>
-כפי שרצינו.
+כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>
 [[קטגוריה:אינפי]]

הבדלים בין גרסאות בדף "משפט לייבניץ"

גרסה מ־21:16, 27 בינואר 2016

משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים

הוכחה

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים