שינויים

תהי <math>\{a_n\}</math> סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:

*הטור <math>\sum_sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^na_n</math> מתכנס*השארית <math>R_k=\sum_sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^na_n-\sum_sum\limits_{n=1}^k (-1)^na_n</math> מקיימת <math>|R_k|\leq le a_{k+1}</math>

נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הינה הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.

יהי אפסילון גדול מאפס<math>\epsilon>0</math>, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני איברים קטן מאפסילוןמ- <math>\epsilon</math>.

*<math>\Big|S_m-S_n\Big|=\Bigg|(-1)^ma_m+...\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\Bigg|=\Bigg|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-...\cdots\Bigg| </math>

 ::<math>-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}<0</math> 

 ::<math>a_{m-2}-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}+0</math> 

 ::<math>0<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}</math> 

::<math>|S_m-S_n|<a_{n+1}</math>  וכיוון וכיון ש<math>a_n</math> שואפת לאפס, החל ממקום מסויים זה קטן מאפסילון מ- <math>\epsilon</math> (ללא תלות ב-<math>m</math>). 

לפי טיעון דומה, <math>\Bigg|\sum_sum\limits_{n=k+1}^K (-1)^na_n\Bigg|=\Bigg|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-...\cdots\Bigg|\leq le a_{k+1}</math> ולכן

::<math>|R_k|=\lim_{K\rightarrow to\infty}\Bigg|\sum_sum\limits_{n=k+1}^K (-1)^na_n\Bigg|\leq le a_{k+1}</math>

כפי שרצינו.<math>\blacksquare</math>