הבדלים בין גרסאות בדף "משפט לייבניץ"

גרסה מ־21:17, 27 בינואר 2016

תהי $\{a_n\}$ סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:

הטור $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^na_n$ מתכנס
השארית $R_k=\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^na_n-\sum\limits_{n=1}^k (-1)^na_n$ מקיימת $|R_k|\le a_{k+1}$

נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.

יהי $\epsilon>0$ , צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני איברים קטן מ- $\epsilon$ .

$\Big|S_m-S_n\Big|=\Bigg|(-1)^ma_m+\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\Bigg|=\Bigg|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-\cdots\Bigg|$

נראה כי כל איבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:

-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}<0

לכן

a_{m-2}-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}+0

כלומר

0<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}

וכן הלאה עד שנקבל

\Big|S_m-S_n\Big|<a_{n+1}

וכיון ש $a_n$ שואפת לאפס, החל ממקום מסויים זה קטן מ- $\epsilon$ (ללא תלות ב- $m$ ).

לפי טיעון דומה, $\Bigg|\sum\limits_{n=k+1}^K (-1)^na_n\Bigg|=\Bigg|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-\cdots\Bigg|\le a_{k+1}$ ולכן

|R_k|=\lim_{K\to\infty}\Bigg|\sum\limits_{n=k+1}^K (-1)^na_n\Bigg|\le a_{k+1}

כפי שרצינו. $\blacksquare$

@@ שורה 20: / שורה 20: @@
 :<math>0<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}</math>
 וכן הלאה עד שנקבל
-:<math>|S_m-S_n|<a_{n+1}</math>
+:<math>\Big|S_m-S_n\Big|<a_{n+1}</math>
 וכיון ש<math>a_n</math> שואפת לאפס, החל ממקום מסויים זה קטן מ- <math>\epsilon</math> (ללא תלות ב- <math>m</math>).