שינויים
==משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים==
תהי <math>\{a_n\}</math> סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:
נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.
יהי <math>\epsilon>0</math>, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני איברים אברים קטן מ- <math>\epsilon</math>.
*<math>\Big|S_m-S_n\Big|=\Bigg|(-1)^ma_m+\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\Bigg|=\Bigg|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-\cdots\Bigg|</math>
נראה כי כל איבר אבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:
:<math>-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}<0</math>
לכן
:<math>\Big|S_m-S_n\Big|<a_{n+1}</math>
וכיון ש- <math>a_n</math> שואפת לאפס, החל ממקום מסויים מסוים זה קטן מ- <math>\epsilon</math> (ללא תלות ב- <math>m</math>).
לפי טיעון דומה, <math>\Bigg|\sum\limits_{n=k+1}^K (-1)^na_n\Bigg|=\Bigg|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-\cdots\Bigg|\le a_{k+1}</math> ולכן
