שינויים
תהי <math>\{a_n\}</math> סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:
*הטור <math>\sumdisplaystyle\limits_sum_{n=1}^\infty (-1)^na_n</math> מתכנס*השארית <math>R_k=\sumdisplaystyle\limits_sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n-\sum\limits_sum_{n=1}^k(-1)^na_n</math> מקיימת <math>|R_k|\le a_{k+1}</math>
===הוכחה===
יהי <math>\epsilon>0</math>, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני אברים קטן מ- <math>\epsilon</math> .
*<math>\Big|S_m-S_n\Big|=\Biggbigg|(-1)^ma_m+\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\Biggbigg|=\Biggbigg|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-\cdots\Biggbigg|</math>
נראה כי כל אבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:
וכיון ש- <math>a_n</math> שואפת לאפס, החל ממקום מסוים זה קטן מ- <math>\epsilon</math> (ללא תלות ב- <math>m</math>).
לפי טיעון דומה, <math>\Biggleft|\sumdisplaystyle\limits_sum_{n=k+1}^K (-1)^na_n\Biggright|=\Biggbigg|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-\cdots\Biggbigg|\le a_{k+1}</math> ולכן
:<math>|R_k|=\displaystyle\lim_{K\to\infty}\Biggleft|\sum\limits_{n=k+1}^K (-1)^na_n\Biggright|\le a_{k+1}</math>
כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>
[[קטגוריה:אינפי]]
