משפט לייבניץ

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים

תהי \{a_n\} סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:

  • הטור \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^na_n מתכנס
  • השארית R_k=\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^na_n-\sum\limits_{n=1}^k (-1)^na_n מקיימת |R_k|\le a_{k+1}

הוכחה

נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.

יהי \epsilon>0, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני איברים קטן מ- \epsilon.

  • \Big|S_m-S_n\Big|=\Bigg|(-1)^ma_m+\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\Bigg|=\Bigg|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-\cdots\Bigg|

נראה כי כל איבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:

-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}<0

לכן

a_{m-2}-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}+0

כלומר

0<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}

וכן הלאה עד שנקבל

\Big|S_m-S_n\Big|<a_{n+1}

וכיון שa_n שואפת לאפס, החל ממקום מסויים זה קטן מ- \epsilon (ללא תלות ב- m).

לפי טיעון דומה, \Bigg|\sum\limits_{n=k+1}^K (-1)^na_n\Bigg|=\Bigg|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-\cdots\Bigg|\le a_{k+1} ולכן

|R_k|=\lim_{K\to\infty}\Bigg|\sum\limits_{n=k+1}^K (-1)^na_n\Bigg|\le a_{k+1}

כפי שרצינו. \blacksquare