<videoflash>NxqtPr0wWJg</videoflash>
תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע <math>[a,b]</math> . אזי לכל <math>\alphaf(a)<y<f(b)</math> בין או <math>f(a),>y>f(b)</math> קיימת <math>c\in[a,b]</math> כך ש- <math>f(c)=\alphay</math> .
===הוכחה===
'''הוכחה:'''
נגדיר <math>I_1=[a,b]</math> . כעת, אם <math>f\left(\tfrac{a+b}{2}\right)=0</math> סיימנו.
אחרת, נחלק את הקטע לשניים, וניקח <math>I_2=\left[a,\tfrac{a+b}{2}\right]</math> או <math>I_2=\left[\tfrac{a+b}{2},b\right]</math> כך שהפונקציה תקבל סימנים מנוגדים בקצות הקטע.
נחלק שוב את הקטע באופן דומה עד שנקבל נקודה בה הפונקציה מתאפסת, או שנקבל סדרה של קטעים המוכלים זה בזה, בעלי אורך שואף לאפס (שכן אנחנו מחלקים את האורך בשתיים בכל פעם).
אם קיבלנו סדרה אינסופית של קטעים <math>I_n=[a_n,b_n]</math>, היא מקיימת את [[הלמה של קנטור]] ויש נקודת גבול משותפת <math>\lim \limits_{n\to\infty}a_n=\lim \limits_{n\to\infty}b_n=c\in[a,b]</math>
כעת, כיון שהפונקציה רציפה, לפי היינה
:<math>f(c)=\lim \limits_{n\to\infty}f(a_n)=\lim \limits_{n\to\infty}f(b_n)=f(c)</math> .
אבל כיון שהפונקציה מקבל אינסוף ערכים שליליים על סדרות אלה, וגם אינסוף ערכים חיוביים, הגבול חייב להיות אפס, כלומר
כעת נשוב למקרה הכללי. נביט בפונקציה נניח בלי הגבלת הכלליות כי <math>g(x)=f(xa)-\alpha</math>. כיון ש- <math>\alpha</math> בין <math>f(a),f(b)</math> ברור כי <math>g(a)\cdot g(b)< 0</math> .
נביט בפונקציה <math>g(x)=f(x)-y</math> . כיון ש- <math>y</math> בין <math>f(a),f(b)</math> ברור כי <math>g(a)\cdot g(b)<0</math> . לפי המשפט לעיל, קיימת <math>c\in[a,b]</math> בקטע כך ש- <math>g(c)=0</math> כלומר, כלומר <math>f(c)=\alphay</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>
[[קטגוריה:אינפי]]