שינויים
<videoflash>NxqtPr0wWJg</videoflash>
תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע </math>[a,b]</math>. אזי לכל <math>\alpha</math> בין <math>f(a),f(b)</math> קיימת <math>c\in[a,b]</math> כך ש - <math>f(c)=\alpha</math>
===הוכחה===
ראשית, נוכיח משפט חלש יותר:
תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע </math>[a,b]</math>. אזי אם <math>f(a)f(b)<0</math> קיימת <math>c\in[a,b]</math> כך ש - <math>f(c)=0</math>.
כלומר, פונקציה רציפה חייבת להתאפס בין נקודה בה היא מקבלת ערך שלילי לבין נקודה לנקודה בה היא מקבלת ערך חיובי. (היא לא יכול יכולה "לדלג" על ציר </math>x</math>.)
'''הוכחה:'''
נגדיר <math>I_1=[a,b]</math>. כעת, אם <math>f(\tfrac{a+b}{2})=0</math> סיימנו.
אם קיבלנו סדרה אינסופית של קטעים <math>I_n=[a_n,b_n]</math>, היא מקיימת את [[הלמה של קנטור]] ויש נקודת גבול משותפת <math>\lim a_n = \lim b_n = c\in [a,b]</math>
כעת, כיוון כיון שהפונקציה רציפה, לפי היינה
::<math>f(c)=\lim f(a_n) = \lim f(b_n)</math>.
אבל כיוון כיון שהפונקציה מקבל אינסוף ערכים שליליים על סדרות אלה, וגם אינסוף ערכים חיוביים, הגבול חייב להיות אפס, כלומר
::<math>f(c)=0</math>
כעת נשוב למקרה הכללי. נביט בפונקציה <math>g(x)=f(x)-\alpha</math>. כיון ש- <math>\alpha</math> בין <math>f(a),f(b)</math> ברור כי
<math>g(a)\cdot g(b)< 0</math>.
[[קטגוריה:אינפי]]
