הבדלים בין גרסאות בדף "משפט פרמה (אינפי)"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
 
(3 גרסאות ביניים של 3 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
 
==הגדרת נקודת קיצון מקומית==
 
==הגדרת נקודת קיצון מקומית==
−
תהי <math>f</math> מוגדרת בסביבת הנקודה <math>x_0</math> כך שלכל x בסביבה מתקיים:
+
תהי <math>f</math> מוגדרת בסביבת הנקודה <math>x_0</math> כך שלכל <math>x</math> בסביבה מתקיים:
−
 
+
−
::<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\leq f(x_0)</math> (נקודת מקסימום מקומי)
+
  
 +
:<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\le f(x_0)</math> (נקודת מקסימום מקומי)
 
'''או'''
 
'''או'''
 +
:<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\ge f(x_0)</math> (נקודת מינימום מקומי)
  
−
::<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\geq f(x_0)</math> (נקודת מינימום מקומי)
+
אזי <math>x_0</math> הנה '''נקודת קיצון מקומית''' של <math>f</math> .
−
 
+
−
 
+
−
אזי <math>x_0</math> הינה '''נקודת קיצון מקומית''' של <math>f</math>.
+
  
 
==משפט פרמה==
 
==משפט פרמה==
−
 
+
תהי <math>x_0</math> נקודת קיצון מקומית של פונקציה <math>f</math> . אזי אם <math>f</math> גזירה ב- <math>x_0</math> מתקיים:
−
תהי <math>x_0</math> נקודת קיצון מקומית של פונקציה <math>f</math>. אזי אם <math>f</math> גזירה ב<math>x_0</math> מתקיים:
+
:<math>f'(x_0)=0</math>
−
 
+
−
::<math>f'(x_0)=0</math>
+
  
 
===הוכחה===
 
===הוכחה===
 +
נניח כי <math>f</math> גזירה בנקודת '''מקסימום''' מקומי <math>x_0</math> (ההוכחה עבור מינימום דומה). אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים:
 +
:<math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L</math>
  
−
נניח כי f גזירה בנקודת '''מקסימום''' מקומי <math>x_0</math> (ההוכחה עבור מינימום דומה) . אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים:
+
לפי משפט, כיון שהגבול קיים, הגבולות החד-צדדיים ושווים.
  
−
::<math>\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L</math>
+
לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\le 0</math> , וכיון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם <math>x-x_0>0</math> .
−
 
+
−
לפי משפט, כיוון שהגבול קיים, הגבולות החד צדדיים ושווים.
+
−
 
+
−
לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\leq 0</math>, וכיוון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם <math>x-x_0>0</math>.
+
  
 
לכן ביחד, מתקיים כי  
 
לכן ביחד, מתקיים כי  
 +
:<math>L=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0</math>
 +
באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\le 0</math> , וכיון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם <math>x-x_0<0</math> .
  
−
::<math>L=\lim_{x\rightarrow x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leq 0</math>
+
לכן ביחד, מתקיים כי
−
 
+
:<math>L=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0</math>
−
באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\leq 0</math>, וכיוון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם <math>x-x_0<0</math>.
+
−
 
+
−
לכן ביחד, מתקיים כי  
+
−
 
+
−
::<math>L=\lim_{x\rightarrow x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0</math>
+
−
 
+
−
 
+
−
סה"כ <math>L=0</math> כפי שרצינו.
+
−
 
+
−
 
+
−
==משפט רול==
+
−
 
+
−
תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math> כך ש <math>f(a)=f(b)</math>.
+
−
 
+
−
אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=0</math>
+
−
 
+
−
 
+
−
===הוכחה===
+
−
נוכיח כי קיימת נקודת קיצון מקומית <math>c\in (a,b)</math> ולכן המשל נובע ממשפט פרמה.
+
−
 
+
−
לפי משפט ויישטראס השני, כיוון שהפונקציה רציפה בקטע סגור היא מקבלת בו מינימום ומקסימום. נניח בשלילה שגם המינימום וגם המקסימום מתקבלים בקצות הקטע a,b. על כן, כיוון ש<math>f(a)=f(b)</math> אנו מקבלים כי המקסימום והמינימום שווים ולכן הפונקציה קבועה בקטע. לכן כל נקודה בקטע היא נקודת קיצון מקומית, וקיבלנו את התוצאה הדרושה.
+
−
 
+
−
אחרת, המינימום או המקסימום מתקבלים בקטע הפתוח <math>(a,b)</math> ולכן הן נקודות קיצון מקומיות, ושוב קיבלנו את התוצאה הדרושה.
+
−
 
+
−
 
+
−
==משפט לגראנז'==
+
−
תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math>.
+
−
 
+
−
אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
+
−
 
+
−
 
+
−
===הוכחה===
+
−
 
+
−
נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות <math>(a,f(a)),(b,f(b))</math>:
+
−
 
+
−
::<math>y-f(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)</math>
+
−
 
+
−
נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על מנת לקבל את התוצאה הרצוייה.
+
−
 
+
−
 
+
−
::<math>g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)-f(a)</math>
+
−
 
+
−
 
+
−
קל לראות כי <math>g(a)=g(b)=0</math> ו-g מקיימת את שאר תנאיי משפט רול. לכן קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>g'(c)=0</math>. אבל:
+
−
 
+
−
 
+
−
::<math>0=g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
+
−
 
+
−
כלומר
+
  
−
::<math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
+
סה"כ <math>L=0</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>
  
−
כפי שרצינו.
+
==ראו גם==
 +
*[[משפט רול]]
 +
*[[משפט לגראנז' (אינפי)|משפט לגראנז']]
  
 
[[קטגוריה:אינפי]]
 
[[קטגוריה:אינפי]]

גרסה אחרונה מ־11:39, 7 ביוני 2016

הגדרת נקודת קיצון מקומית

תהי f מוגדרת בסביבת הנקודה x_0 כך שלכל x בסביבה מתקיים:

\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\le f(x_0) (נקודת מקסימום מקומי)

או

\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\ge f(x_0) (נקודת מינימום מקומי)

אזי x_0 הנה נקודת קיצון מקומית של f .

משפט פרמה

תהי x_0 נקודת קיצון מקומית של פונקציה f . אזי אם f גזירה ב- x_0 מתקיים:

f'(x_0)=0

הוכחה

נניח כי f גזירה בנקודת מקסימום מקומי x_0 (ההוכחה עבור מינימום דומה). אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים:

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L

לפי משפט, כיון שהגבול קיים, הגבולות החד-צדדיים ושווים.

לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של x_0 בה מתקיים f(x)-f(x_0)\le 0 , וכיון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם x-x_0>0 .

לכן ביחד, מתקיים כי

L=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0

באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של x_0 בה מתקיים f(x)-f(x_0)\le 0 , וכיון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם x-x_0<0 .

לכן ביחד, מתקיים כי

L=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0

סה"כ L=0 כפי שרצינו. \blacksquare

ראו גם

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=משפט_פרמה_(אינפי)&oldid=66855