==הגדרת נקודת קיצון מקומית==
תהי <math>f</math> מוגדרת בסביבת הנקודה <math>x_0</math> כך שלכל x בסביבה מתקיים: ::<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\leq f(x_0)</math> (נקודת מקסימום מקומי)בסביבה מתקיים:
:<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\le f(x_0)</math> (נקודת מקסימום מקומי)
'''או'''
:<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\ge f(x_0)</math> (נקודת מינימום מקומי)
::<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\geq f(x_0)</math> (נקודת מינימום מקומי) אזי <math>x_0</math> הינה הנה '''נקודת קיצון מקומית''' של <math>f</math>.
==משפט פרמה==
תהי <math>x_0</math> נקודת קיצון מקומית של פונקציה <math>f</math>. אזי אם <math>f</math> גזירה ב- <math>x_0</math> מתקיים: ::<math>f'(x_0)=0</math>
===הוכחה===
נניח כי <math>f</math> גזירה בנקודת '''מקסימום''' מקומי <math>x_0</math> (ההוכחה עבור מינימום דומה). אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים:
:<math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L</math>
נניח כי f גזירה בנקודת '''מקסימום''' מקומי <math>x_0</math> (ההוכחה עבור מינימום דומה) . אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא משפט, כיון שהגבול קיים:, הגבולות החד-צדדיים ושווים.
::<math>\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L</math> לפי משפט, כיוון שהגבול קיים, הגבולות החד צדדיים ושווים. לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\leq le 0</math>, וכיוון וכיון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם <math>x-x_0>0</math>.
לכן ביחד, מתקיים כי
:<math>L=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0</math>
באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\le 0</math> , וכיון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם <math>x-x_0<0</math> .
::<math>L=\lim_{x\rightarrow x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leq 0</math> באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\leq 0</math>, וכיוון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם <math>x-x_0<0</math>. לכן ביחד, מתקיים כי ::<math>L=\lim_{x\rightarrow to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0</math> סה"כ <math>L=ge 0</math> כפי שרצינו.
סה"כ <math>L== ראו גם ==0</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>
==ראו גם==* [[משפט רול]]* [[משפט לגראנז' (אינפי)|משפט לגראנז']]
[[קטגוריה:אינפי]]