שינויים

תהי <math>f</math> מוגדרת בסביבת הנקודה <math>x_0</math> כך שלכל x בסביבה מתקיים: ::<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\leq f(x_0)</math> (נקודת מקסימום מקומי)בסביבה מתקיים:

::<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\geq f(x_0)</math> (נקודת מינימום מקומי)  אזי <math>x_0</math> הינה הנה '''נקודת קיצון מקומית''' של <math>f</math>.

::<math>f'(x_0)=0</math>

נניח כי f גזירה בנקודת '''מקסימום''' מקומי :<math>\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L</math> (ההוכחה עבור מינימום דומה) . אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים:

לפי משפט, כיוון שהגבול קיים, הגבולות החד צדדיים ושווים. לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\leq le 0</math>, וכיוון וכיון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם <math>x-x_0>0</math>.

::<math>L=\lim_{x\rightarrow to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leq le 0</math>

באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\leq le 0</math>, וכיוון וכיון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם <math>x-x_0<0</math>.

::<math>L=\lim_{x\rightarrow to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq ge 0</math>  סה"כ <math>L=0</math> כפי שרצינו.

סה"כ <math>L== ראו גם ==0</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>

==ראו גם==* [[משפט רול]]* [[משפט לגראנז' (אינפי)|משפט לגראנז']]