הבדלים בין גרסאות בדף "משפט פרמה (אינפי)"
מתוך Math-Wiki
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מ |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
| שורה 4: | שורה 4: | ||
:<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\le f(x_0)</math> (נקודת מקסימום מקומי) | :<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\le f(x_0)</math> (נקודת מקסימום מקומי) | ||
'''או''' | '''או''' | ||
| − | :<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\ | + | :<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\ge f(x_0)</math> (נקודת מינימום מקומי) |
אזי <math>x_0</math> הנה '''נקודת קיצון מקומית''' של <math>f</math> . | אזי <math>x_0</math> הנה '''נקודת קיצון מקומית''' של <math>f</math> . | ||
==משפט פרמה== | ==משפט פרמה== | ||
| − | תהי <math>x_0</math> נקודת קיצון מקומית של פונקציה <math>f</math>. אזי אם <math>f</math> גזירה ב<math>x_0</math> מתקיים: | + | תהי <math>x_0</math> נקודת קיצון מקומית של פונקציה <math>f</math> . אזי אם <math>f</math> גזירה ב- <math>x_0</math> מתקיים: |
| − | + | ||
:<math>f'(x_0)=0</math> | :<math>f'(x_0)=0</math> | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
נניח כי <math>f</math> גזירה בנקודת '''מקסימום''' מקומי <math>x_0</math> (ההוכחה עבור מינימום דומה). אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים: | נניח כי <math>f</math> גזירה בנקודת '''מקסימום''' מקומי <math>x_0</math> (ההוכחה עבור מינימום דומה). אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים: | ||
| + | :<math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L</math> | ||
| − | + | לפי משפט, כיון שהגבול קיים, הגבולות החד-צדדיים ושווים. | |
| − | + | לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\le 0</math> , וכיון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם <math>x-x_0>0</math> . | |
| − | + | ||
| − | לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\le 0</math>, וכיון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם <math>x-x_0>0</math>. | + | |
לכן ביחד, מתקיים כי | לכן ביחד, מתקיים כי | ||
| − | |||
:<math>L=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0</math> | :<math>L=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0</math> | ||
| + | באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\le 0</math> , וכיון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם <math>x-x_0<0</math> . | ||
| − | + | לכן ביחד, מתקיים כי | |
| − | + | ||
| − | לכן ביחד, מתקיים כי | + | |
| − | + | ||
:<math>L=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0</math> | :<math>L=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0</math> | ||
גרסה אחרונה מ־11:39, 7 ביוני 2016
תוכן עניינים
הגדרת נקודת קיצון מקומית
תהי 
מוגדרת בסביבת הנקודה 
כך שלכל 
בסביבה מתקיים:
(נקודת מקסימום מקומי)
או
(נקודת מינימום מקומי)
אזי הנה נקודת קיצון מקומית של .
משפט פרמה
תהי נקודת קיצון מקומית של פונקציה . אזי אם גזירה ב- מתקיים:
הוכחה
נניח כי גזירה בנקודת מקסימום מקומי (ההוכחה עבור מינימום דומה). אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים:
לפי משפט, כיון שהגבול קיים, הגבולות החד-צדדיים ושווים.
לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של בה מתקיים 
, וכיון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם 
.
לכן ביחד, מתקיים כי
באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של בה מתקיים , וכיון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם 
.
לכן ביחד, מתקיים כי
סה"כ 
כפי שרצינו. 
