משפט פרמה (אינפי)

חזרה למשפטים באינפי

הגדרת נקודת קיצון מקומית

תהי $f$ מוגדרת בסביבת הנקודה $x_0$ כך שלכל x בסביבה מתקיים:

$\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\leq f(x_0)$ (נקודת מקסימום מקומי)

או

$\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\geq f(x_0)$ (נקודת מינימום מקומי)

אזי $x_0$ הינה נקודת קיצון מקומית של $f$.

משפט פרמה

תהי $x_0$ נקודת קיצון מקומית של פונקציה $f$. אזי אם $f$ גזירה ב$x_0$ מתקיים:

$f'(x_0)=0$

הוכחה

נניח כי f גזירה בנקודת מקסימום מקומי $x_0$ (ההוכחה עבור מינימום דומה) . אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים:

$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L$

לפי משפט, כיוון שהגבול קיים, הגבולות החד צדדיים ושווים.

לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של $x_0$ בה מתקיים $f(x)-f(x_0)\leq 0$, וכיוון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם $x-x_0>0$.

לכן ביחד, מתקיים כי

$L=\lim_{x\rightarrow x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leq 0$

באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של $x_0$ בה מתקיים $f(x)-f(x_0)\leq 0$, וכיוון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם $x-x_0<0$.

לכן ביחד, מתקיים כי

$L=\lim_{x\rightarrow x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0$

סה"כ $L=0$ כפי שרצינו.