הבדלים בין גרסאות בדף "משפט קנטור על רציפות במידה שווה"

גרסה מ־10:47, 10 בינואר 2012

משפט קנטור לגבי פונקציות רציפות במ"ש

פונקציה רציפה בקטע סגור וסופי, רציפה שם במ"ש

הוכחה

תהי f רציפה על קטע סגור וסופי $[a,b]$ . נניח בשלילה שהיא לא רציפה שם במ"ש. לכן קיים אפסילון גדול מאפס, כך שלכל דלתא גדול מאפס, יש שתי נקודות במרחק קטן מדלתא כך שהפרש התמונות שלהן גדול או שווה לאפסילון. ניתן אם כך לבנות סדרה של זוגות של נקודות

x_n,y_n

כך שמתקיים

x_n-y_n\rightarrow 0

אבל

|f(x_n)-f(y_n)|\geq \epsilon

לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס לסדרות, יש ל $x_n$ תת סדרה מתכנסת $x_{n_k}$ (כיוון שהקטע סופי, הסדרה חסומה).

בנוסף, לתת הסדרה $y_{n_k}$ יש תת סדרה מתכנסת. אם כך, בנינו זוג סדרות מתכנסות המקיימות את התנאים:

x'_n-y'_n\rightarrow 0

|f(x'_n)-f(y'_n)|\geq \epsilon

אבל כיוון שזה קטע סגור, נקודת הגבול של הסדרות המתכנסות שייכת לקטע (נקודת הגבול בינהן זהה כי המרחק בינהן שואף לאפס). לכן, לפי רציפות,

\lim f(x'_n)=\lim f(y'_n)

בסתירה.

@@ שורה 5: / שורה 5: @@
 ==הוכחה==
+תהי f רציפה על קטע סגור וסופי <math>[a,b]</math>. נניח בשלילה שהיא '''לא''' רציפה שם במ"ש. לכן קיים אפסילון גדול מאפס, כך שלכל דלתא גדול מאפס, יש שתי נקודות במרחק קטן מדלתא כך שהפרש התמונות שלהן גדול או שווה לאפסילון. ניתן אם כך לבנות סדרה של זוגות של נקודות
+::<math>x_n,y_n</math>
+כך שמתקיים
+::<math>x_n-y_n\rightarrow 0</math>
+אבל
+::<math>|f(x_n)-f(y_n)|\geq \epsilon</math>
+לפי משפט [[משפטים/אינפי/בולצאנו-ויירשטראס|בולצאנו-ויירשטראס לסדרות]], יש ל<math>x_n</math> תת סדרה מתכנסת <math>x_{n_k}</math> (כיוון שהקטע סופי, הסדרה חסומה).
+בנוסף, לתת הסדרה <math>y_{n_k}</math> יש תת סדרה מתכנסת. אם כך, בנינו זוג סדרות '''מתכנסות''' המקיימות את התנאים:
+::<math>x'_n-y'_n\rightarrow 0</math>
+::<math>|f(x'_n)-f(y'_n)|\geq \epsilon</math>
+אבל '''כיוון שזה קטע סגור''', נקודת הגבול של הסדרות המתכנסות שייכת לקטע (נקודת הגבול בינהן זהה כי המרחק בינהן שואף לאפס). לכן, לפי רציפות,
+::<math>\lim f(x'_n)=\lim f(y'_n)</math>
+בסתירה.

הבדלים בין גרסאות בדף "משפט קנטור על רציפות במידה שווה"

גרסה מ־10:47, 10 בינואר 2012

משפט קנטור לגבי פונקציות רציפות במ"ש

הוכחה

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים