הבדלים בין גרסאות בדף "משפט קנטור על רציפות במידה שווה"

גרסה אחרונה מ־20:06, 17 באוגוסט 2016

משפט קנטור לגבי פונקציות רציפות במ"ש

פונקציה רציפה בקטע סגור וסופי, רציפה שם במ"ש.

הוכחה

תהי $f$ רציפה על קטע סגור וסופי $[a,b]$ . נניח בשלילה שהיא לא-רציפה שם במ"ש. לכן קיים $\epsilon>0$ , כך שלכל $\delta>0$ יש שתי נקודות במרחק קטן מדלתא כך שהפרש התמונות שלהן גדול או שווה לאפסילון. ניתן אם כך לבנות סדרה של זוגות של נקודות

x_n,y_n

כך שמתקיים

x_n-y_n\to 0

אבל

\Big|f(x_n)-f(y_n)\Big|\ge\epsilon

לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס לסדרות, יש ל- $x_n$ תת-סדרה מתכנסת $x_{n_k}$ (כיון שהקטע סופי, הסדרה חסומה).

בנוסף, לתת הסדרה $y_{n_k}$ יש תת-סדרה מתכנסת. אם כך, בנינו זוג סדרות מתכנסות המקיימות את התנאים:

x'_n-y'_n\to 0

\Big|f(x'_n)-f(y'_n)\Big|\ge\epsilon

אבל כיון שזהו קטע סגור, נקודת הגבול של הסדרות המתכנסות שייכת לקטע (נקודת הגבול בינהן זהה כי המרחק בינהן שואף ל-0). לכן, לפי רציפות,

\lim f(x'_n)=\lim f(y'_n)

בסתירה. $\blacksquare$

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-חזרה ל[[משפטים/אינפי|משפטים באינפי]]
 ==משפט קנטור לגבי פונקציות רציפות במ"ש==
-פונקציה רציפה בקטע סגור וסופי, רציפה שם במ"ש
+פונקציה רציפה בקטע סגור וסופי, רציפה שם במ"ש.
 ==הוכחה==
+תהי <math>f</math> רציפה על קטע סגור וסופי <math>[a,b]</math> . נניח בשלילה שהיא '''לא'''-רציפה שם במ"ש. לכן קיים <math>\epsilon>0</math> , כך שלכל <math>\delta>0</math> יש שתי נקודות במרחק קטן מדלתא כך שהפרש התמונות שלהן גדול או שווה לאפסילון. ניתן אם כך לבנות סדרה של זוגות של נקודות
+:<math>x_n,y_n</math>
+כך שמתקיים
+:<math>x_n-y_n\to 0</math>
+אבל
+:<math>\Big|f(x_n)-f(y_n)\Big|\ge\epsilon</math>
+לפי משפט [[משפטים/אינפי/בולצאנו-ויירשטראס|בולצאנו-ויירשטראס לסדרות]], יש ל- <math>x_n</math> תת-סדרה מתכנסת <math>x_{n_k}</math> (כיון שהקטע סופי, הסדרה חסומה).
+בנוסף, לתת הסדרה <math>y_{n_k}</math> יש תת-סדרה מתכנסת. אם כך, בנינו זוג סדרות '''מתכנסות''' המקיימות את התנאים:
+:<math>x'_n-y'_n\to 0</math>
+:<math>\Big|f(x'_n)-f(y'_n)\Big|\ge\epsilon</math>
+אבל '''כיון שזהו קטע סגור''', נקודת הגבול של הסדרות המתכנסות שייכת לקטע (נקודת הגבול בינהן זהה כי המרחק בינהן שואף ל-0). לכן, לפי רציפות,
+:<math>\lim f(x'_n)=\lim f(y'_n)</math>
+בסתירה. <math>\blacksquare</math>
+[[קטגוריה:אינפי]]

הבדלים בין גרסאות בדף "משפט קנטור על רציפות במידה שווה"

גרסה אחרונה מ־20:06, 17 באוגוסט 2016

משפט קנטור לגבי פונקציות רציפות במ"ש

הוכחה

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים