שינויים

פונקציה רציפה בקטע סגור וסופי, רציפה שם במ"ש.

תהי <math>f </math> רציפה על קטע סגור וסופי <math>[a,b]</math>. נניח בשלילה שהיא '''לא''' -רציפה שם במ"ש. לכן קיים אפסילון גדול מאפס<math>\epsilon>0</math> , כך שלכל דלתא גדול מאפס, <math>\delta>0</math> יש שתי נקודות במרחק קטן מדלתא כך שהפרש התמונות שלהן גדול או שווה לאפסילון. ניתן אם כך לבנות סדרה של זוגות של נקודות ::<math>x_n,y_n</math>  

 ::<math>x_n-y_n\rightarrow to 0</math> 

::<math>|f(x_n)-f(y_n)|\geq \epsilon</math>  לפי משפט [[משפטים/אינפי/בולצאנו-ויירשטראס|בולצאנו-ויירשטראס לסדרות]], יש ל<math>x_n</math> תת סדרה מתכנסת <math>x_{n_k}</math> (כיוון שהקטע סופי, הסדרה חסומה). בנוסף, לתת הסדרה <math>y_{n_k}</math> יש תת -סדרה מתכנסת. אם כך, בנינו זוג סדרות '''מתכנסות''' המקיימות את התנאים: ::<math>x'_n-y'_n\rightarrow to 0</math> ::<math>\Big|f(x'_n)-f(y'_n)\Big|\geq ge\epsilon</math>  אבל '''כיוון שזה כיון שזהו קטע סגור''', נקודת הגבול של הסדרות המתכנסות שייכת לקטע (נקודת הגבול בינהן זהה כי המרחק בינהן שואף לאפסל-0). לכן, לפי רציפות, ::<math>\lim f(x'_n)=\lim f(y'_n)</math> בסתירה.<math>\blacksquare</math>