הבדלים בין גרסאות בדף "משפט רול"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "==משפט רול== תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math> כך ש <math>f(a)=f(b)</math>. אזי קיימת נ...") |
|||
| שורה 16: | שורה 16: | ||
== ראו גם == | == ראו גם == | ||
| − | * [[משפט פרמה]] | + | * [[משפט פרמה (אינפי)|משפט פרמה]] |
* [[משפט לגראנז' (אינפי)|משפט לגראנז']] | * [[משפט לגראנז' (אינפי)|משפט לגראנז']] | ||
[[קטגוריה:אינפי]] | [[קטגוריה:אינפי]] | ||
גרסה מ־01:02, 15 בפברואר 2012
משפט רול
תהי f רציפה בקטע ![[a,b]](/images/math/2/c/3/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png)
וגזירה בקטע 
כך ש 
.
אזי קיימת נקודה 
עבורה מתקיים 
הוכחה
נוכיח כי קיימת נקודת קיצון מקומית ולכן המשל נובע ממשפט פרמה.
לפי משפט ויישטראס השני, כיוון שהפונקציה רציפה בקטע סגור היא מקבלת בו מינימום ומקסימום. נניח בשלילה שגם המינימום וגם המקסימום מתקבלים בקצות הקטע a,b. על כן, כיוון ש אנו מקבלים כי המקסימום והמינימום שווים ולכן הפונקציה קבועה בקטע. לכן כל נקודה בקטע היא נקודת קיצון מקומית, וקיבלנו את התוצאה הדרושה.
אחרת, המינימום או המקסימום מתקבלים בקטע הפתוח ולכן הן נקודות קיצון מקומיות, ושוב קיבלנו את התוצאה הדרושה.
