הבדלים בין גרסאות בדף "משפט רול"

גרסה מ־14:11, 12 באפריל 2012

משפט רול

תהי f רציפה בקטע $[a,b]$ וגזירה בקטע $(a,b)$ כך ש $f(a)=f(b)$ .

אזי קיימת נקודה $c\in (a,b)$ עבורה מתקיים $f'(c)=0$

הוכחה

נוכיח כי קיימת נקודת קיצון מקומית $c\in (a,b)$ ולכן המשל נובע ממשפט פרמה.

לפי משפט ויישטראס השני, כיוון שהפונקציה רציפה בקטע סגור היא מקבלת בו מינימום ומקסימום.

נחלק לשני מקרים: נניח המינימום וגם המקסימום מתקבלים בקצות הקטע a,b. על כן, כיוון ש $f(a)=f(b)$ אנו מקבלים כי המקסימום והמינימום שווים ולכן הפונקציה קבועה בקטע. לכן כל נקודה בקטע היא נקודת קיצון מקומית, וקיבלנו את התוצאה הדרושה.

אחרת, המינימום או המקסימום מתקבלים בקטע הפתוח $(a,b)$ ולכן הן נקודות קיצון מקומיות, ושוב קיבלנו את התוצאה הדרושה.

ראו גם

@@ שורה 9: / שורה 9: @@
 נוכיח כי קיימת נקודת קיצון מקומית <math>c\in (a,b)</math> ולכן המשל נובע ממשפט פרמה.
-לפי משפט ויישטראס השני, כיוון שהפונקציה רציפה בקטע סגור היא מקבלת בו מינימום ומקסימום. נניח בשלילה שגם המינימום וגם המקסימום מתקבלים בקצות הקטע a,b. על כן, כיוון ש<math>f(a)=f(b)</math> אנו מקבלים כי המקסימום והמינימום שווים ולכן הפונקציה קבועה בקטע. לכן כל נקודה בקטע היא נקודת קיצון מקומית, וקיבלנו את התוצאה הדרושה.
+לפי משפט ויישטראס השני, כיוון שהפונקציה רציפה בקטע סגור היא מקבלת בו מינימום ומקסימום.
-אחרת, המינימום או המקסימום מתקבלים בקטע הפתוח <math>(a,b)</math> ולכן הן נקודות קיצון מקומיות, ושוב קיבלנו את התוצאה הדרושה.
+נחלק לשני מקרים: נניח המינימום וגם המקסימום מתקבלים בקצות הקטע a,b. על כן, כיוון ש<math>f(a)=f(b)</math> אנו מקבלים כי המקסימום והמינימום שווים ולכן הפונקציה קבועה בקטע. לכן כל נקודה בקטע היא נקודת קיצון מקומית, וקיבלנו את התוצאה הדרושה.
+אחרת, המינימום או המקסימום מתקבלים בקטע הפתוח <math>(a,b)</math> ולכן הן נקודות קיצון מקומיות, ושוב קיבלנו את התוצאה הדרושה.
 == ראו גם ==

הבדלים בין גרסאות בדף "משפט רול"

גרסה מ־14:11, 12 באפריל 2012

משפט רול

הוכחה

ראו גם

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים