הבדלים בין גרסאות בדף "משפט רול"

גרסה אחרונה מ־09:59, 13 באוקטובר 2016

משפט רול

תהי $f$ פונקציה רציפה בקטע $[a,b]$ וגזירה בקטע $(a,b)$ כך ש- $f(a)=f(b)$ .

אזי קיימת נקודה $c\in (a,b)$ עבורה מתקיים $f'(c)=0$ .

הוכחה

נוכיח כי קיימת נקודת קיצון מקומית $c\in (a,b)$ ולכן המשל נובע ממשפט פרמה.

לפי משפט ויירשטראס השני, כיון שהפונקציה רציפה בקטע סגור היא מקבלת בו מינימום ומקסימום.

נחלק לשני מקרים: נניח המינימום וגם המקסימום מתקבלים בקצות הקטע $[a,b]$ . על כן, כיון ש- $f(a)=f(b)$ אנו מקבלים כי המקסימום והמינימום שווים ולכן הפונקציה קבועה בקטע. לכן כל נקודה בקטע היא נקודת קיצון מקומית, וקיבלנו את התוצאה הדרושה.

אחרת, המינימום או המקסימום מתקבלים בקטע הפתוח $(a,b)$ ולכן הן נקודות קיצון מקומיות, ושוב קיבלנו את התוצאה הדרושה.

ראו גם

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 ==משפט רול==
+תהי <math>f</math> פונקציה רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math> כך ש- <math>f(a)=f(b)</math> .
-תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math> כך ש <math>f(a)=f(b)</math>.
+אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=0</math> .
-אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=0</math>
+===הוכחה===
+נוכיח כי קיימת נקודת קיצון מקומית <math>c\in (a,b)</math> ולכן המשל נובע [[משפט פרמה (אינפי)|ממשפט פרמה]].
+לפי משפט ויירשטראס השני, כיון שהפונקציה רציפה בקטע סגור היא מקבלת בו מינימום ומקסימום.
-===הוכחה===
+נחלק לשני מקרים: נניח המינימום וגם המקסימום מתקבלים בקצות הקטע <math>[a,b]</math> . על כן, כיון ש- <math>f(a)=f(b)</math> אנו מקבלים כי המקסימום והמינימום שווים ולכן הפונקציה קבועה בקטע. לכן כל נקודה בקטע היא נקודת קיצון מקומית, וקיבלנו את התוצאה הדרושה.
-נוכיח כי קיימת נקודת קיצון מקומית <math>c\in (a,b)</math> ולכן המשל נובע ממשפט פרמה.
-לפי משפט ויישטראס השני, כיוון שהפונקציה רציפה בקטע סגור היא מקבלת בו מינימום ומקסימום. נניח בשלילה שגם המינימום וגם המקסימום מתקבלים בקצות הקטע a,b. על כן, כיוון ש<math>f(a)=f(b)</math> אנו מקבלים כי המקסימום והמינימום שווים ולכן הפונקציה קבועה בקטע. לכן כל נקודה בקטע היא נקודת קיצון מקומית, וקיבלנו את התוצאה הדרושה.
 אחרת, המינימום או המקסימום מתקבלים בקטע הפתוח <math>(a,b)</math> ולכן הן נקודות קיצון מקומיות, ושוב קיבלנו את התוצאה הדרושה.
+==ראו גם==
-== ראו גם ==
+*[[משפט פרמה (אינפי)|משפט פרמה]]
+*[[משפט לגראנז' (אינפי)|משפט לגראנז']]
-* [[משפט פרמה (אינפי)|משפט פרמה]]
-* [[משפט לגראנז' (אינפי)|משפט לגראנז']]
 [[קטגוריה:אינפי]]

הבדלים בין גרסאות בדף "משפט רול"

גרסה אחרונה מ־09:59, 13 באוקטובר 2016

משפט רול

הוכחה

ראו גם

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים