משתמש:אור שחף/עבודה ב"שימושי המתמטיקה ביומיום"

הבעיה

באי מסוים כל התושבים הם או אבירים, הדוברים תמיד אמת, או נוכלים, אשר תמיד משקרים. בחלק מהבעיות מוסיפים סוג נוסף – מרגלים, שעונים אמת או שקר באקראי. החידות דנות באורח באי המנסה להסיק מספר מסקנות – לרוב את הסוג של כמה מהתושבים – על סמך כמה עובדות (שמרביתן מהצורה "תושב $X$ טען ש־$P$") ו/או על סמך שאלות כן/לא שעליו לשאול.

• דוגמה 1: האורח נתקל בתושבים $A,B,C,D$. אין מרגלים, וידוע ש־$A,C$ מסוגים שונים. $A$ טוען ש־$B,C$ מאותו סוג, $B$ טוען ש־$A$ אביר ו־$C$ טוען שהוא מאותו סוג כמו $D$. מה הסוג של כל תושב?
• דוגמה 2: האורח נתקל בשלושה תושבים. אחד מהם אביר, אחד נוכל ואחד מרגל. אילו 3 שאלות של כן/לא הוא יכול לשאול על מנת לגלות את הסוג של כל אחד מהם, אם מותר לו להחליט למי להפנות כל שאלה על סמך התשובות לשאלות ששאל לפניה?

נרצה ליצור מודל מתמטי לפתרון בעיות מסוג זה.

חידות ללא מרגלים

$P$	$Q$	$P\leftrightarrow Q$
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

באלגברה בוליאנית מסמנים $1$ כפסוק אמת ו־$0$ כפסוק שקר. באופן דומה, אם תושב $X$ הוא אביר אז נסמנו כ־$1$ ואם נוכל – $0$. נעזר בסימון $\leftrightarrow$ לציון אופרטור שקילות לוגית, המוגדר כמפורט בטבלה שמשמאל. $\Leftrightarrow$ הוא יחס שקילות בין כל שני פסוקים שקולים לוגית, כלומר אם ידוע ש־$P\leftrightarrow Q$ נותן 1 אז נוכל לסמן $P\Leftrightarrow Q$. לפיכך, אם $X$ טוען טענה $P$ אז $X\Leftrightarrow P$.

דוגמה 1.1: באמצעות סימונים אלו נציג את דוגמה 1 כמערכת משוואות בוליאניות. $A$ טוען ש־$B,C$ מאותו סוג, כלומר הוא טוען $B\leftrightarrow C$. מכך נובעת משוואה (1) במערכת המשוואות הבאה. מהטענות של $B,C$ נובעות המשוואות (2) ו־(3), ומהעובדה ש־$A,C$ שונים נובעת משוואה (4):

$\begin{array}{llcl} (1)&A\leftrightarrow B\leftrightarrow C&\Leftrightarrow&1\\ (2)&B\leftrightarrow A\leftrightarrow1&\Leftrightarrow&1\\ (3)&C\leftrightarrow C\leftrightarrow D&\Leftrightarrow&1\\ (4)&A\leftrightarrow C&\Leftrightarrow&0\end{array}$

באופן שקול:

$\begin{array}{llcl} (1)&A\nleftrightarrow B\nleftrightarrow C&\Leftrightarrow&1\\ (2)&A\nleftrightarrow B&\Leftrightarrow&0\\ (3)&D&\Leftrightarrow&1\\ (4)&A\nleftrightarrow C&\Leftrightarrow&1\end{array}$

כאשר $\nleftrightarrow$ מציין אופרטור XOR, המסומן גם כ־$\oplus$.

בסימונים אלו נגדיר עובדה בתור משוואה בוליאנית שנתונה בחידה, כגון $A\leftrightarrow C\Leftrightarrow0$ מדוגמה 1.

חידות ללא שאלות

פתרון כמערכת משוואות

ברגע שיש לנו ניסוח מתמטי של החידה כמערכת משוואות קל לפתור אותה. אנו נתעמק בחידות שניתן לפתור כמערכת משוואות לינאריות כיוון שהן נותנות מידע רב יותר על החידה, כפי שנראה בהמשך.

ניצור איזומורפיזם מהשדה $(\mathbb Z_2,+,\cdot)$ ל־$(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)$ ע״י $x\mapsto\begin{cases}0,&x=[0]_2\\1,&x=[1]_2\end{cases}$. מכך נובע ש־$(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)$ שדה. סכום $\sum_{i=1}^m P_i$ (כאשר $\forall i:\ P_i\in\{0,1\}$) יוגדר בתור $P_1\nleftrightarrow\dots\nleftrightarrow P_m$ ומכפלה $\prod_{i=1}^m P_i$ בתור $P_1\and\dots\and P_m$. גם כפל מטריצות מוגדר בהתאם.

כעת, אם התושבים הם $X_1,\dots,X_n$ אז נסמן $\mathbf x:=\begin{pmatrix}X_1\\\vdots\\X_n\end{pmatrix}$. אם כל $P_i$ מייצג נעלם $X_j$ או קבוע $1,0$ אז נוכל להציג כל $P_1\nleftrightarrow\dots\nleftrightarrow P_n\Leftrightarrow P_{n+1}$ בתור סכום של נעלמים שונים השווה לקבוע: לדוגמה, $B\leftrightarrow A\leftrightarrow0\Leftrightarrow1$ מהניסוח המתמטי של דוגמה 1 שקול ל־$A\nleftrightarrow B\Leftrightarrow1$, כלומר ל־$\sum_{X_i\in\{A,B\}}X_i\Leftrightarrow1$. לכן נוכל להגדיר מטריצת מקדמים $\mathbf A$ ווקטור מקדמים חופשיים $\mathbf b$ כך ש־$\mathbf{Ax}\Leftrightarrow\mathbf b$.

דוגמה 1.2: ההצגה המטריציונית של דוגמה 1 היא

$\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}_\mathbf A\underbrace\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}_\mathbf x\Leftrightarrow\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}_\mathbf b$

הצגה זו מאפשרת לנו למצוא מה הסוג של כל תושב ע״י פתרון מערכת משוואות לינאריות. יתרה מזאת, לפי משפט רושה–קפלי (Rouché–Capelli) יש פתרון ל־$\mathbf{Ax}=\mathbf b$ אם״ם $\mathbf b\in\operatorname{span}\left\{\operatorname{Col}_i(\mathbf A)\right\}_{i=1}^n$ כאשר $\operatorname{Col}_i(\mathbf A)$ העמודה ה־$i$ של $\mathbf A$, ואם כן אז מרחב הפתרונות הוא ממימד $n-\operatorname{rank}(\mathbf A)$. מכאן נובע שאנו יכולים לבדוק האם קיים פתרון לחידה, ואם כן לחשב את מספר הפתרונות בתור $2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}$. מובן שבד״כ יש רק פתרון אחד, כלומר $\mathbf A$ הפיכה.

דוגמה 1.3: נפתור את דוגמה 1. חישוב פשוט מראה ש־$\mathbf A$ הפיכה (ומכאן שיש פתרון יחיד) ו־$\mathbf A^{-1}\Leftrightarrow\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}$. לכן $\mathbf x\Leftrightarrow\mathbf A^{-1}\mathbf b\Leftrightarrow\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}$ – התושבים $A,B$ נוכלים ו־$C,D$ אבירים.

פתרון באמצעות ניחוש

מנחשים את סוגו של אחד מהתושבים ומציבים במשוואות. אם מגיעים לסתירה אז יש להחליף את הסוג שנבחר ולפתור מחדש, אחרת נקבל מערכת משוואות פשוטה יותר. אם המערכת הזו עוד לא נותנת פתרון יחיד יש להמשיך לנחש עד לפתרון הסופי. אם החלפנו ניחוש ושוב הגענו לסתירה אז אין פתרון.

דוגמה 1.4: ננחש ש־$A$ מדוגמה 1 הוא אביר. מ־(2) נובע ש־$B$ אביר ומ־(4) ש־$C$ נוכל, אך זה סותר את (1) ולכן $A$ נוכל. הצבה מחדש נותנת ש־$B$ נוכל ו־$C,D$ אבירים, וקיבלנו פתרון יחיד.

באופן כללי זו שיטה קלה יותר. אחד מהחסרונות שלה הוא שקשה למצוא באמצעותה את מספר הפתרונות, מה שעושים ע״י בדיקת היתכנות הסוג השני לכל תושב שניחשנו לו סוג.

דוגמה 3: האורח נתקל בתושבים $A,B,C$, שאינם מרגלים. $A$ טוען ש־$B$ נוכל וש־$C$ אביר, כלומר $A\leftrightarrow(\neg B\and C)\Leftrightarrow1$. אם ננחש ש־$A$ אביר נקבל פתרון יחיד, אך אם ננחש שהוא נוכל נקבל ש־$\neg B\and C\Leftrightarrow0$. במקרה הזה אפשר לנחש ש־$B$ נוכל (ולקבל פתרון יחיד) או אביר (ולקבל שני פתרונות). מספר הפתרונות הוא אם כן $\underbrace1_{A\text{ is a knight}}+\underbrace{\underbrace1_{B\text{ is a knave}}+\underbrace2_{B\text{ is a knight}}}_{A\text{ is a knave}}=4$. זו מערכת לא לינארית ולכן לא ניתן לפתור אותה בשיטה של רושה–קפלי.

חיסרון מהותי יותר הוא ששינוי של $\mathbf b$ דורש פתרון מחדש של הבעיה כולה. כמו כן, הפתרון לא נותן לנו את התובנות שקיבלנו מפתרון כמערכת משוואות לינאריות, תובנות שיעזרו לנו בחידות שבהן שואלים שאלות.

חידות עם שאלות

נגדיר שאלה כפסוק לוגי שאנחנו יכולים לבחור ושתלוי בסוגים של התושבים, כגון $X_1\or X_2$. נסמן כ־$n$ את מספר התושבים ונניח שמותר לשאול עד $m$ שאלות כדי להסיק את הסוג של כל אחד מהם. נסמן $\mathbf p\Leftrightarrow\begin{pmatrix}P_1\\\vdots\\P_m\end{pmatrix}$ כווקטור השאלות. תשובה תוגדר כערך בוליאני השקול לוגית לשאלה ששאלנו, ונסמן ב־$\mathbf b\Leftrightarrow\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_m\end{pmatrix}\in\{0,1\}^m$ את וקטור התשובות. מההגדרות נובע ישירות ש־$\mathbf p\Leftrightarrow\mathbf b$. $\mathbf x$ מוגדר כמו מקודם.

דוגמה 4: $m=n=2$ ואין עובדות. וקטור השאלות $\mathbf p\Leftrightarrow\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\end{pmatrix}$ מאפשר לפתור את החידה. אם נניח, למשל, ש־$\mathbf b\Leftrightarrow\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ אזי $\mathbf x\Leftrightarrow\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$.

מקורות והשראות

• Knights and Knaves
• The Hardest Logic Puzzle Ever
• Fuzzy logic
• Many-valued logic
• Three-valued logic