שינויים
===הוכחה===
# כיוון ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> משפט 9 נותן שלכל <math>x\in[a,b]</math> f אינטגרבילית בקטע <math>[a,x_0]</math> ולכן <math>A(x)=\int\limits_a^x f</math> מוגדרת היטב. נוכיח ש-A רציפה ע"י זה שהיא מקיימת את תנאי ליפשיץ. ובכן f אינטגרבילית ובפרט היא חסומה: <math>|f(x)|\le M</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. כעת אם <math>x,y\in[a,b]</math> אז <math>|A(y)-A(x)|=\left|\int\limits_a^y f-\int\limits_a^x f\right|=\left|\int\limits_x^y f\right|\le M|y-x|</math> ונובע ש-A רציפה. כעת נניח ש-f רציפה בנקודה <math>x_0\in[a,b]</math>. ר"ל A גזירה שם. ובכן <math>A(x_0+\Delta x)-A(x_0)=\int\limits_a^{x_0+\Delta x} f-\int\limits_a^{x_0} f=\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x} f</math> ולכן <math>\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}=\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f</math>. נעיר ש-<math>\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x} f(x_0)=f(x_0)\Delta x</math> (כי <math>f(x_0)</math> פונקציה קבועה). לכן <math>f(x_0)=\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(x_0)</math>. מכאן ש-<math>\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}-f(x_0)=\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\Big(f(t)-f(x_0)\Big)\mathrm dt</math>. נותר להוכיח שכאשר <math>\Delta x\to0</math> אגף ימין (ולכן אגף שמאל) שואף ל-0. לצורך זה יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-f רציפה ב-<math>x_0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|t-x_0|<\delta</math> אז <math>|f(t)-f(x_0)|<\varepsilon</math>. כעת נניח ש-<math>|\Delta x|<\delta</math>. אם כן האינטגרל באגף ימין הוא על קטע בין <math>x_0</math> ל-<math>x_0+\Delta x</math> ולכן כל t בקטע זה מקיים <math>|t-x_0|<\Delta x</math>. נובע שלכל t בקטע <math>|f(t)-f(x_0)|<\varepsilon</math>. יוצא שאם <math>|\Delta x|\le\delta</math> אז <math>\left|\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}-f(x_0)\right|=\left|\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}(f(t)-f(x_0))\mathrm dt\right|<\frac1frac{|\Delta x|\varepsilon}{|\Delta x|\varepsilon}</math>. הדבר אפשרי נכון לכל <math>\varepsilon>0</math>, לכן <math>\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}-f(x_0)=0</math> ז"א <math>A'(x_0)</math> קיים ושווה ל-<math>f(x_0)</math>. {{משל}}
# נתון ש-f רציפה בכל <math>[a,b]</math>. לפי החלק הקודם <math>\forall x\in[a,b]:\ A'(x)=f(x)</math>, כלומר A קדומה ל-f ב-<math>[a,b]</math>. קיים קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. מכאן ש-<math>F(b)-F(a)=A(b)+c-\Big(A(a)+c\Big)=A(b)-A(a)=\int\limits_a^b f-\int\limits_a^a f=\int\limits_a^b f</math>. {{משל}}
אם f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> אז קיימת לה פונקצייה קדומה ב-<math>[a,b]</math>.
====הוכחה====
כיוון ש-f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> כולו מתקיים <math>A(x)=\int\limits_a^x f</math> קדומה ל-f ב-<math>[a,b]</math>.
====דוגמאות====
* <math>f(x)=e^{x^2}</math>. זו פונקציה אלמנטרית ומוגדרת בכל <math>\mathbb R</math>, ולכן רציפה שם. לפי המסקנה יש לה פונקציה קדומה. זו דוגמה קלאסית לפונקציה אלמנטרית שהפונקציה הקדומה שלה לא אלמנטרית.
===דוגמת חישוב===
למשל, נחשב את השטח שבין הגרפים <math>y=\sin(x)</math> ו-<math>y=\cos(x)</math> בקטע <math>\left[0,\tfrac\pi2\right]</math>:
<div align="center">[[קובץ:שטח בין סינוס לקוסינוס.png|400px]]</div>
בקטע <math>\left[0,\tfrac\pi4\right]</math> מתקיים <math>\cos(x)\ge\sin(x)</math> ובקטע <math>\left[\tfrac\pi4,\tfrac\pi2\right]</math> מתקיים <math>\cos(x)\le\sin(x)</math>. לכן השטח הוא {{left|<math>\begin{align}\int\limits_0^\frac\pi2 |\cos(x)-\sin(x)|\mathrm dx&=\int\limits_0^\frac\pi4 \Big(\cos(x)-\sin(x)\Big)\mathrm dx+\int\limits_\frac\pi4^\frac\pi2 \Big(\sin(x)-\cos(x)\Big)\mathrm dx\\&=\left([\sin(x)+\cos(x)]_{x=0}^\frac\pi4\right)+\left([-\sin(x)-\cos(x)]_{x=\frac\pi4}^\frac\pi2\right)\\&=\left(\frac\sqrt22+\frac\sqrt22-(0+1)\right)+\left(-1-0+\frac\sqrt22+\frac\sqrt22\right)\\&=2\sqrt2-2\end{align}</math>}}
{{משל}}
