משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/1.5.11

את משפט 10 לא סיימנו בשיעור הקודם ולכן השלמנו זאת ב־1.5.11. חלק זה מופיע בסיכום השיעור הקודם ולא בדף הנוכחי.

אינטגרל לא אמיתי, סוג I (המשך)

תזכורת: עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג $\int\limits_a^\infty f$. כמובן שיש מקבילה גמורה לאינטגרלים האלה: $\int\limits_{-\infty}^b f$, ושאפשר לתרגם את כל המשפטים שלנו למקרה זה.

הגדרה: תהי f מוגדרת בכל $\mathbb R$. נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי $[a,b]$. למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-$\mathbb R$ אז היא אינטגרבילית מקומית.

תזכורת: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית. הגדרנו $\int\limits_{-\infty}^\infty f$ להיות $\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f$ בתנאי ששני האינטגרלים התכנסים. אם אפילו אחד מהם מתבדר נאמר ש-$\int\limits_{-\infty}^\infty f$ מתבדר. נבדוק שההגדרה בלתי תלוייה ב-a. ובכן בה"כ נבחר $b>a$ ונבדוק את שתי הטענות הבאות:

• שני האינטגרלים $\int\limits_{-\infty}^a f,\int\limits_a^\infty f$ מתכנסים אם"ם שני האינטגרלים $\int\limits_{-\infty}^b f,\int\limits_b^\infty f$ מתכנסים.

  עפ"י משפט 2, $\int\limits_a^\infty f$ מתכנס אם"ם $\int\limits_b^\infty f$ מתכנס. באותו אופן $\int\limits_{-\infty}^b f$ מתכנס אם"ם $\int\limits_{-\infty}^a f$ מתכנס, לכן הטענה מתקיימת.

• נוכיח שבמקרה שהאינטגרלים $\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f$ מתכנסים אז הם שווים ל-$\int\limits_{-\infty}^b f+\int\limits_{-\infty}^b f$.

  ובכן עפ"י משפט 2, $\int\limits_{-\infty}^b f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^b f$ וגם $\int\limits_b^\infty f=\int\limits_a^\infty f-\int\limits_a^b f$. נחבר את התוצאות ונקבל את הטענה.

אינטגרל לא אמיתי, סוג II

מדובר באינטגרל על קטע סגור של פונקציה לא חסומה.

הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע $(a,b]$. נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית בקטע זה אם לכל c כך ש-$a<c<b$ f אינטגרבילית בקטע $[c,b]$ (למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-$(a,b]$). לכן נגדיר $\int\limits_a^b f=\lim_{R\to a^+}\int\limits_R^b f$ אם הגבול קיים. אם כן אומרים שהאינטגרל $\int\limits_a^b f$ מתכנס או ש-f אינטגרבילית בקטע $(a,b]$. אם אין גבול אומרים ש-$\int\limits_a^b f$ מתבדר.

דוגמאות

1. נקח $p>0$ ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי $\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{x^p}$. עבור $p=1$ נקבל $\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}x=\lim_{R\to0^+}[\ln|x|]_{x=R}^1=\lim_{R\to0^+}-\ln(R)=\infty$ והאינטגרל מתבדר. עבור $p\ne1$ נקבל $\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}{x^p}=\lim_{R\to0^+}\left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_{x=R}^1=\lim_{R\to0^+}\frac1{1-p}-\frac{R^{-p+1}}{-p+1}=\begin{cases}\frac1{1-p}&p<1\\\infty&\text{else}\end{cases}$.
2. $\int\limits_0^\frac12\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^2}$. נציב $y=\ln(x)$ וכן $\mathrm dy=\frac{\mathrm dx}x$ לקבל $\lim_{R\to0^+}\int\limits_{\ln(R)}^{\ln\left(\frac12\right)}\frac{\mathrm dy}{y^2}=\lim_{R\to0^+}-\frac1{\ln(1/2)}+\frac1{\ln(R)}=-\frac1{\ln(1/2)}$, ובפרט מתכנס.
3. דרך כתיבה מקוצרת: $\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{\sqrt x}=\int\limits_0^1 x^{-\frac12}\mathrm dx=\left[\frac{x^{1/2}}{1/2}\right]_{x=0}^1=2$.

---

לגבי משפטי התכנסות יש אנלוגיות למשפטים שהוכחנו עבור אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון. נרשום אותם ללא הוכחה.

הנחה קבועה: למעט במשפטים 1,3 הפונקציות f,g אינטגרביליות מקומית ב-$(a,b]$.

משפט 1

אם f ו-g אינטגרביליות ב-$(a,b]$ ואם c קבוע אז $f+cg$ אינטגרבילית בקטע $(a,b]$ ומתקיים $\int\limits_a^bf+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g$.

משפט 2

עבור $a<c<b$ f אינטגרבילית בקטע $(a,b]$ אם"ם היא אינטגרבילית בקטע $(a,c]$ ואם כן $\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f$.

משפט 3

תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע $(a,b]$. אזי $\lim_{x\to a^+} f(x)$ קיים אם"ם f חסומה בקטע $(a,b]$.

משפט 4

אם $f(x)\ge0$ אז האינטגרל $\int\limits_a^b f$ מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים $\int\limits_c^b f$ חסומים כאשר $c\to a^+$.

משפט 5 (מבחן ההשוואה)

נניח שב-$(a,b]$ מתקיים $0\le f(x)\le g(x)$.

• אם $\int\limits_a^b g$ מתכנס אז $\int\limits_a^b f$ מתכנס.
• אם $\int\limits_a^b f$ מתבדר אז $\int\limits_a^b g$ מתבדר.

את ההמשך עשינו בשיעור שאחריו:

משפט 6 (מבחן ההשוואה הגבולי)

נניח ש-$f(x),g(x)\ge0$ ונניח שקיים ממש $\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}$. אם $\int\limits_a^b g$ מתכנס אז $\int\limits_a^b f$ מתכנס.

מסקנה

אם בפרט $\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}>0$ אז $\int\limits_a^b g,\int\limits_a^b f$ מתכנסים ומתבדרים יחדיו.

משפט 7

האינטגרל $\int\limits_a^b f$ מתכנס אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי: $\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon$

משפט 8

אם $\int\limits_a^b f$ מתכנס בהחלט אז $\int\limits_a^b f$ מתכנס.

---

באופן דומה יש אנלוגיות לכל המשפטים האלה עבור קטעים מהצורה $[a,b)$ (ז"א הפונקציה לא חסומה בסביבת b במקום בסביבת a. במקרה כזה מגדירים $\int\limits_a^b f:=\lim_{R\to b^-}\int\limits_a^R f$). כמו כן, אם f מוגדרת ב-$(a,b)$ ולא חסומה בסביבת שני הקצוות מגדירים $\int\limits_a^b f:=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f$ עבור $c\in(a,b)$ כלשהו ונאמר ש-$\int\limits_a^b f$ מתכנס אם"ם שני האינטגרלים $\int\limits_a^c f,\int\limits_c^b f$ מתכנסים.

אם f מוגדרת ב-$[a,b]$ למעט איזו נקודת בייניים $c\in(a,b)$ שסביבה f אינה חסומה, אז נגדיר $\int\limits_a^b f:=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f$ כך ששני האינטגרלים באגף ימין מתכנסים.