נניח ש-f פונקציה יורדת, אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[k,\infty)</math> (עבור <math>k\in\mathbb N</math> כלשהו). אזי <math>\int\limits_k^\infty f\in\mathbb R\iff\sum_{n=k}^\infty f(n)\in\mathbb R</math>.
===הוכחה===
נזכר בהגדרת דרבו של האינטגרל. <math>\sum_{n=k}^{N-1} f(n)</math> הוא סכום עליון של <math>\int\limits_k^N f</math> ו-<math>\sum_{n=k+1}^N f(n)</math> הוא סכום תחתון. נסיק ש-<math>\sum_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum_{n=k}^{N-1} f(n)</math>. כעת , אם נתון ש-<math>\sum_{n=k}^\infty f(n)</math> מתכנס אז הסכומים החלקיים <math>\sum_{n=k}^{N-1} f(n)</math> חסומים מלעיל, ומכאן נובע שהאינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_k^N f</math> חסומים מלעיל. נשאיף <math>N\to\infty</math> ומכיוון ש-<math>f(x)\ge0</math> האינטגרל <math>\int\limits_k^\infty f</math> מתכנס. מאידך, אם נתון כי <math>\int\limits_k^\infty f</math> מתכנס אז האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_k^N f</math> חסומים מלעיל, לכן הסכומים החלקיים <math>\sum_{n=k+1}^N f(n)</math> חסומים מלעיל ומכיוון ש-<math>f(x)\ge0</math> נובע ש-<math>\sum_{n=k+1}^\infty f(n)</math> מתכנס <math>\sum_{n=k}^\infty f(n)\Longleftarrow</math> מתכנס. {{משל}}
===מסקנה===
בהוכחה הראינו שבתנאים הללו מתקיים <math>\sum_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum_{n=k}^{N-1} f(n)</math>.
תחילה נניח שקיים <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=L\in\mathbb R</math> ונאמת את תנאי קושי. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי ההגדרה קיים <math>b>a</math> כך שאם <math>x>b</math> אז <math>|f(x)-L|<\frac\varepsilon2</math>. מכאן נובע שאם <math>x_2\ge x_1>b</math> אז <math>|f(x_2)-f(x_1)|\le|f(x_2)-L|+|L-f(x_1)|\le\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math> ולכן מתקיים תנאי קושי.
מצד שני, אם f מקיימת את תנאי קושי, אז קיים <math>b>a</math> כך שלכל <math>x_2\ge x_1>b</math> מתקיים <math>|f(x_2)-f(x_1)|<1</math>. נקבע <math>x_1=b+1</math> ונובע שלכל <math>x_2>b+1</math> מתקיים <math>|f(x_2)-f(b+1)|<1</math>. לכן אם <math>x_2>b+1</math> אז <math>|f(x_2)|-|f(b+1)|\le\Big||f(x_2)|-|f(b+1)|\Big|\le|f(x_2)-f(b+1)|<1</math> ומכאן ש-<math>|f(x_2)|<|f(b+1)|+1</math>. לכן f חסומה בקטע <math>[b+1,\infty)</math> ולכן <math>\{f(b+1),\ f(b+2),\ f(b+3),\ \dots\}</math> סדרה חסומה. יש לה תת סדרה מתכנסת <math>\{f(b+n_k)\}_{k\in\mathbb N}</math> כך ש-<math>\lim_{k\to\infty} f(b+n_k)</math> קיים ונאמר שהוא <math>L\in\mathbb R</math>. ''טענה: '' <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> קיים ושווה ל-L. ''הוכחה: '' <math>\lim_{k\to\infty} f(b+n_k)=L</math> ולכן עבור <math>\varepsilon>0</math> נתון קיים <math>k_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>k\ge k_0</math> אז <math>|f(b+n_k)-L|<\frac\varepsilon2</math>. כמו כן, עפ"י תנאי קושי יש מספר <math>c>a</math> כך שאם <math>x_2>x_1>c</math> אז <math>|f(x_2)-f(x_1)|<\frac\varepsilon2</math>. עתה נגדיר <math>d:=\max\{b+n_{k_0},c\}</math> ולכן <math>|f(x)-L|\le|f(x)-f(d)|+|f(d)-L|<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math>. {{משל}}