==משפט 9 {{הערה|(מבחן דיריכלה)}}==
נניח ש-f מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,\infty)</math> ונניח שהאינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^b f</math> חסומים כאשר <math>b\to\infty</math> (ז"א קיים <math>M\ge0</math> כך ש-<math>\forall b>a:\ \left|\int\limits_a^b f\right|\le M</math>). עוד נניח ש-g מוגדרת, מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב-<math>[a,\infty)</math> ו-<math>\lim_{x\to\infty} g(x)=0</math> אזי <math>\int\limits_a^\infty f(x)g(x)\mathrm dx</math> מתכנס.
===הוכחה===
לכל <math>x>a</math> נגדיר <math>F(x)=\int\limits_a^x f</math>. כיוון ש-f רציפה המשפט היסודי אומר ש-<math>F'(x)=f(x)</math> לכל <math>x>a</math>. יתר על כן, הנתונים שלנו גוררים ש-<math>\forall x>a:\ |F(x)|\le M</math>. כעת <math>\int\limits_a^\infty f\cdot g=\left[F(x)g(x)\right]_{x=a}^\infty-\int\limits_a^\infty F\cdot g'</math>. נראה שכל אחד מהמחוברים באגף ימין הם גבולות מתכנסים. ובכן <math>\lim_{R\to\infty} [F(x)g(x)]_{x=a}^R=\lim_{R\to\infty} \underbrace{F(R)}_\text{bounded}\underbrace{g(R)}_{\to0}-\underbrace{F(a)}_0g(a)=0</math>. נותר להוכיח שקיים <math>\lim_{R\to\infty}\int\limits_a^R F\cdot g'</math>, ז"א צריך להוכיח שהאינטגרל <math>\int\limits_a^\infty F\cdot g'</math> מתכנס. עפ"י משפט 8 מספיק להראות שהאינטגרל הזה מתכנס בהחלט. נתון ש-g מונוטונית ולכן <math>g'(x)\ge0</math> לכל <math>x>a</math> או <math>g'(x)\le0</math> לכל <math>x>a</math>. נניח ש-<math>\forall x>a:\ g'(x)\ge0</math> (ההוכחה במקרה השני דומה). יוצא שלכל <math>x>a</math> מתקיים <math>0\le|F(x)g'(x)|=|F(x)|g'(x)\le Mg'(x)</math> ושהאינטגרל של <math>Mg'(x)</math> הוא <math>\int\limits_a^\infty Mg'=[Mg(x)]_{x=a}^\infty=0-Mg(a)</math> כי נתון ש-<math>\lim_{x\to\infty} g(x)=0</math> לסיכום הראנו ש-<math>\int\limits_a^\infty Mg'</math> מתכנס. ממבחן ההשוואה נסיק שמתכנס <math>\int\limits_a^\infty |F|\cdot g'</math> ולכן מתכנס <math>\int\limits_a^\infty F\cdot g'</math>. לכן קיים <math>\lim_{R\to\infty}\int\limits_a^R F\cdot g'</math> וסיימנו את ההוכחה. {{משל}}