לפי המסקנה למשפט 7 מספיק להוכיח ש-<math>\int\limits_a^\infty f</math> מקיים את תנאי קושי. לצורך זה יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-<math>\int\limits_a^\infty|f|</math> מתכנס הוא מקיים את תנאי קושי וקיים <math>x_0>a</math> כך שאם <math>x_2>x_1>x_0</math> אז <math>\left|\int\limits_{x_1}^{x_2}|f|\right|<\varepsilon</math>. נובע מיד ש-<math>\left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right|\le\int\limits_{x_1}^{x_2}|f|<\varepsilon</math>. קיימנו את תנאי קושי ל-<math>\int\limits_{x_1}^{x_2}f</math> ולכן הוא מתכנס. {{משל}}
''גישה אחרת:'' נגדיר <math>f^+(x)=\begin{cases}f(x)&f(x)\ge0\\0&\text{else}\end{cases}</math> וכן <math>f^-(x)=\begin{cases}0&-f(x)>0\\-f(x)&\text{else}\end{cases}</math>. לכן <math>f^+(x),f^-(x)</math> אי-שליליות. קל להראות שלכל x, <math>f(x)=f^+(x)-f^-(x)</math> וכן <math>|f(x)|=f^+(x)+f^-(x)</math> (גאומטרית: <math>\int\limits_a^b f^+</math> השטח שמעל ציר ה-x ו-<math>\int\limits_a^b f^-</math> השטח שמתחת).
כעת אם נתון ש-<math>\int\limits_a^\infty|f|</math> מתכנס, מבחן ההשוואה אומר שכיוון ש-<math>0\le f^+(x),f^-(x)\le|f(x)|</math> שני האינטגרלים <math>\int\limits_a^\infty f^+,\int\limits_a^\infty f^-</math> מתכנסים ונובע ממשפט 1 ש-<math>\int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^\infty(f^+-f^-)=\int\limits_a^\infty f^+-\int\limits_a^\infty f^-\in\mathbb R</math>, כלומר <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס. {{משל}}