שינויים

אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש על I לפונקציה גזירה S ומתקיים <math>S'=s</math>. בפרט, בתנאים אלה <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sum_{n=1}^\infty f_n(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x)</math>.

נגדיר סכומים חלקיים <math>S_N=\sum_{n=1}^N f_n</math>. הנתון הראשון אומר שלפחות בנקודה <math>x=x_0</math> קיים <math>\lim_{N\to\infty} S_N(x)</math>. הנתון השני אומר שקיים <math>s(x)=\lim_{N\to\infty} S_N'(x)</math> במ"ש ב-I. ז"א הסדרה <math>\{S_N(x)\}</math> מקיימת את התנאים של משפט 4 ולכן קיים <math>S(x)=\lim_{N\to\infty} S_N(x)</math> ב-I כך ש-S גזירה ב-I ו-<math>S'=s</math>. עתה <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> וכן <math>s(x)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N f_n'(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'</math>. מכיוון ש-<math>S'=s</math> נסיק <math>\frac{\mathrm {d}}{\mathrm {dx}}\sum_{n=1}^\infty f_n(x)=\frac{\mathrm {d}}{\mathrm {dx}}S(x)=s(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'</math>. {{משל}}