לכן <math>f_1(x+2)=f_1(x)</math> וכן אם <math>x\not\in\mathbb Z</math> אז <math>f_1'(x)\in\{\pm1\}</math>, ואחרת הנגזרת לא קיימת. כמו כן נגדיר <math>f_2(x)=\frac14f_1(4x)</math> ואז <math>f_2\left(x+\frac24\right)=f_2(x)</math> וכן אם <math>\frac x4\not\in\mathbb Z</math> אז <math>f_2'(x)\in\{\pm1\}</math>. נמשיך להגדיר <math>f_{n+1}(x)=\frac14f_n(4x)=\frac1{4^n}f_1\left(4^nx\right)</math> ולכן <math>f_{n+1}\left(x+\frac 2{4^n}\right)=f_{n+1}(x)</math> ואם <math>\frac x{4^n}\not\in\mathbb Z</math> אז <math>f_{n+1}'(x)\in\{\pm1\}</math>. לבסוף, נגדיר <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> אזי S רציפה ב-<math>\mathbb R</math> (כי כל <math>f_n</math> רציפה והטור מתכנס במ"ש עפ"י מבחן ה-M של וירשטרס: <math>|f_n(x)|=\left|\frac1{4^n}f_1\left(4^nx\right)\right|\le\frac1{4^n}</math> ו-<math>\sum\frac1{4^n}</math> מתכנס).
''הוכחה שגויה לכך שהפונקציה לא גזירה:'' <math>S'(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x)=\sum_{n=1}^\infty \pm1</math> שמתבדר (כי <math>\pm1\not\to0</math>), ולכן הפונקציה אינה גזירה בשום נקודה. הוכחה זו אינה נכונה כי היא מתבססת על הטענה שאומרת שאם <math>f_n\to f</math> במ"ש ואם <math>\lim_{n\to\infty}f_n'</math> לא קיים אז f לא גזירה, טענה שאפשר לסתור בעזרת <math>f_n</math> שהגדרנו קודם: <math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac1{4^n}f_1\left(4^nx\right)=0</math> ולכן הפונקציה הגבולית (שהיא 0) גזירה, אבל <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{4^n}{4^n}f_1'(4^nx)</math> שמתבדר בין <math>-1</math> ל-<math>1</math>, עם ערכים לא מוגדרים באמצע.
''הוכחה נכונה:'' נאמר ששתי נקודות שונות <math>x_1,x_2\in\mathbb R</math> מקיימות את התכונה <math>P_1</math> הן נמצאות בקטע שבין שתי נקודות קיצון סמוכות של <math>f_1</math> (למשל הקטע <math>[0,1]</math>, כי הוא נמצא בין נקודות הקיצון שב-0 וב-1, או הקטע <math>[-3,-2]</math> וכו'). אם <math>x_1,x_2</math> מקיימות זאת אזי <math>\frac{f_1(x_1)-f_1(x_2)}{x_1-x_2}\in\{\pm1\}</math>. נמשיך כך ונאמר ששתי נקודות <math>x_1,x_2</math> מקיימות תכונה <math>P_n</math> אם"ם הן בקטע שבין שתי נקודות קיצון סמוכות של <math>f_n</math>. במקרה כזה <math>\frac{f_n(x_1)-f_n(x_2)}{x_1-x_2}\in\{\pm1\}</math>. נשים לב שאם הנקודות <math>x_1,x_2</math> מקיימות <math>P_n</math> אז הן מקיימות <math>P_{n-1}</math>, ובהכללה <math>P_n\implies P_{n-1}\implies\dots\implies P_1</math>. כעת יהי <math>x\in\mathbb R</math> נתון ונוכיח כי <math>S'(x)</math> לא קיים. מספיק להוכיח שעבור סדרה <math>\{h_m\}</math> כלשהי כך ש-<math>0\ne h_m\to0</math> לא קיים הגבול <math>\lim_{m\to\infty}\frac{S(x+h_m)-S(x)}{h_m}</math>. נבחר <math>h_m=\frac2{4^m}</math> אם <math>x,x+\frac2{4^m}</math> מקיימות <math>P_m</math>, ו-<math>h_m=-\frac2{4^m}</math> אחרת. נשים לב שבכל מקרה הנקודות <math>x,x+h_m</math> מקיימות <math>P_m</math> כי אם <math>x,x+\frac2{4^m}</math> לא מקיימות <math>P_m</math> אזי יש בין שתיהן נקודת קיצון של <math>f_m</math>. ההפרש בין שיעורי ה-x של שתי נקודות קיצון סמוכות ב-<math>f_m</math> הוא <math>\frac4{4^m}</math> ולכן <math>x,x-\frac2{4^m}</math> כן מקיימות <math>P_m</math>. כמו כן ברור כי <math>0\ne h_m\to0</math>. מתקיים <math>\forall m:\ \frac{S(x+h_m)-S(x)}{h_m}=\sum_{n=1}^\infty \frac{f_n(x+h_m)-f_n(x)}{h_m}</math>. כיוון ש-<math>x,x+h_m</math> מקיימות <math>P_m\and P_{m-1}\and\dots\and P_1</math> מתקיימת לכל <math>1\le n\le m</math> הטענה <math>\frac{f_n(x+h_m)-f_n(x)}{h_m}\in\{\pm1\}</math>. עבור <math>n>m</math> המחזור של <math>f_n</math> הוא <math>\frac2{4^{n-1}}</math>. אם <math>n>m</math> אז <math>h_m=\pm\frac2{4^m}=\pm\frac2{4^{n-1}}\cdot4^{n-m-1}</math> הוא מספר שלם של מחזורים, ולכן <math>f_n(x+h_m)=f_n(x)</math>, ומכאן ש-<math>\forall n>m:\ \frac{f_n(x+h_m)-f_n(x)}{h_m}=0</math>. לפיכך לכל m נקבל <math>\frac{S(x+h_m)-S(x)}{h_m}=\sum_{n=1}^m\pm1+\sum0</math>. כאשר <math>m\to\infty</math> הגבול לא קיים ולכן S לא גזירה ב-x, והטענה נכונה לכל x. {{משל}}
=טורי חזקות=
'''הגדרה:''' טור חזקות הוא טור פונקציות מהצורה <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> עבור <math>a_n,x_0\in\mathbb R</math> לכל n. כאשר <math>\forall n:\ a_n=1</math> נקבל טור הנדסי.
''דוגמה:'' <math>\sum_{n=0}^\infty (x+5)^n</math> הוא טור חזקות הנדסי. אם נציב <math>y=x+5</math> נקבל <math>\sum_{n=0}^\infty y^n</math>, ולכן הטור מתכנס אם"ם <math>|y|=|x+5|<1</math>, וסכומו הוא <math>\frac1{1-y}=-\frac1{x+4}</math>.
==משפט 1==
יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות כלשהו ונגדיר <math>R=\frac1{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}</math> (R נקרא רדיוס ההתכנסות של הטור). אזי:
# אם x מקיים <math>|x-x_0|<R</math> אז הטור מתכנס בהחלט.
# אם x מקיים <math>|x-x_0|>R</math> אז הטור מתבדר.
# אם <math>0<r<R</math> אז הטור מתכנס במ"ש בקטע <math>[x_0-r,x_0+r]</math>.
===הוכחה===
# יהי x כך ש-<math>|x-x_0|<R</math> ונבחר P כך ש-<math>|x-x_0|<P<R</math>. מכאן נובע ש-<math>\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac1R<\frac1P</math> ולפיכך קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך ש-<math>\forall n>n_0:\ \sqrt[n]{|a_n|}<\frac1P</math>. מכאן נובע כי <math>\sqrt[n]{|a_n|}\cdot|x-x_0|<\frac{|x-x_0|}P<1</math> ולכן <math>|a_n|\cdot|x-x_0|^n<\left(\frac{|x-x_0|}P\right)^n<1</math>. מכאן שהטור <math>\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{|x-x_0|}P\right)^n</math> הוא טור הנדסי שמתכנס, וממבחן ההשוואה <math>\sum_{n=0}^\infty |a_n|\cdot|x-x_0|^n</math> מתכנס, כלומר הטור המקורי מתכנס בהחלט בנקודה x. {{משל}}
# נתון <math>|x-x_0|>R</math> ונרשום <math>P=|x-x_0|</math>. לפי הנתון <math>\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac1R>\frac1P</math> ולכן יש אינסוף אינדקסים n כך ש-<math>\sqrt[n]{|a_n|}>\frac1P</math>. עבור אותם n-ים מתקיים <math>\sqrt[n]{|a_n|}\cdot|x-x_0|>\frac{|x-x_0|}P=1</math> ולכן <math>|a_n|\cdot|x-x_0|^n>1</math>. לפיכך <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> מתבדר (כי האיבר הכללי <math>a_n(x-x_0)^n</math> לא שואף ל-0). {{משל}}
# נבחר P כך ש-<math>0<r<P<R</math>. כמו בסעיף 1, קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{|a_n|}<\frac1P</math> ולכן אם <math>|x-x_0|\le r</math> אז <math>\forall n>n_0:\ |a_n|\cdot|x-x_0|^n<\left(\frac rP\right)^n</math>. קיבלנו חסם על האיבר ה-n בטור <math>\sum_{n=0}^\infty |a_n(x-x_0)^n|</math> וכיוון שסכום החסמים <math>\sum_{n=0}^\infty \left(\frac rP\right)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס (כי <math>\left|\frac rP\right|<1</math>) נקבל ממבחן ה-M של וירשטרס ש-<math>\sum_{n=0}^\infty |a_n(x-x_0)^n|</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]=\{x:\ |x-x_0|\le r\}</math>. {{משל}}
'''הערה:''' באופן כללי, עבור <math>L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}</math>, <math>0\le L\le\infty</math>. כאשר <math>L=0</math> מתקיים <math>R=\infty</math>, ואז הטור מתכנס בהחלט לכל <math>x\in\mathbb R</math>, ובמ"ש על כל תת קטע של <math>\mathbb R</math> (כולל <math>\mathbb R</math> עצמו). כאשר <math>L=\infty</math> מתקיים <math>R=0</math> ואז הטור מתכנס אך ורק כאשר <math>x=x_0</math>.
'''הערה:''' לא ניתן לבדוק ישירות מהמשפט התכנסות או התבדרות עבור x המקיים <math>|x-x_0|=R</math>. מקרה זה יש לבדוק בנפרד.