שינויים

== {{כותרת נושא|אינטגרציה ==|נושא ראשון}}'''הגדרה שגוייההערה:''' אינטגרל האינטגרל הוא '''לא השטח ''' שטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח שמתחת מתחת לגרף מוגדר להיות תוצאת לפי האינטגרל .===דוגמת חישוב (כפי שאנחנו מכירים מהחומר לבגרותידני) של שטח שמתחת לגרף===[[קובץ:השטח מתחת ל-x בריבוע לפי מלבנים.png|300px|ממוזער|ימין|הגרף של <math>y=x^2</math> והמלבנים החוסמים (עם גבול ירוק) והחסומים (בצבע כחול).]]נתון הגרף של <math>y=x^2</math> ונרצה לחשב את השטח שמתחת לו בקטע <math>[0,1]</math>.נחלק את הקטע:{{left|<math>0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1</math>}}כך שבאופן כללי <math>x_k=k/n</math> (בגרף מוצג המקרה הפרטי <math>n=4</math>).

דוגמת חישוב מעל כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חוסם" שגובהו <math>\left(ידני{k\over n}\right) של השטח^2=x_k^2</math>. שטח כל המלבנים הללו הוא "שטח חוסם" {{left|<math>\overline S:=\sum_{k=1}^n\frac1n\left({k\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math>}}

כמו כן, מעל כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חסום" שגובהו <math>\left({k-1\over n}\right)^2=x_{k-1}^2</math>. ביחד מלבנים אלה מהווים "שטח חסום" {{left|<math>\underline S:=\frac1n\sum_{k=1}^n\left({k-1\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}</math>}}

ברור שטחי המלבנים בוודאי גדול משטח הגרף (נתעלם כרגע מהעובדה שלא הגדרנו כעת, אם A מציין את האינטגרל ולכן השטח לא מוגדרשמתחת לגרף, בוודאי ש-<math>\underline S\le A\le\overline S</math>, ז"א <math>\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}\le A\le\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}</math>. הדבר נכון לכל <math>n\in\mathbb N</math> ולכן נוכל להשאיף את <math>n\to\infty</math> ולקבל <math>\frac13\le A\le\frac13</math>, לכן <math>A=\frac13</math>.{{משל}}

מעל כל תת קטע קטן '''הגדרה:''' תהי f מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה F קדומה ל-f ב-I אם <math>[x_{k-1},x_k]\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)</math>.

נבנה "מלבן חוסם" שגובהו ''דוגמה:'' אם <math>\leftf(k\over n\rightx)^2=x_kx^2</math>. ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם אז <math>\bar S=\sum_{k=1}^n\frac1n\leftF(k\over n\rightx)^2=\frac1frac{nx^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math>.

כמו כן, מעל כל קטע קטן <math>[x_{k==משפט 0==אם F ו-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חסום" שגובהו <math>\left(kG קדומות ל-1\over n\right)^2=x_{kf בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-1}^2</math> ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום <math>\underline S=\frac1n\sum_{k=1}^n\leftF(k-1\over n\rightx)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nG(k-1x)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}c</math>

כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש===הוכחה===נגדיר <math>H(x)=F(x)-G(x)</math> ולכן <math>\underline Sforall x\le Ain I:\leH'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0</math>. מכאן ש-H היא פונקציה קבועה ולכן יש קבוע c כך ש-<math>F(x)-G(x)=H(x)=c\bar Simplies F(x)=G(x)+c</math>.{{משל}}

ז"א '''הגדרה אינטואיטיבית:''' תהי <math>\frac{nf(n+1x)(2n+1)}{6n^3}\le A\le\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}ge0</math>.הדבר נכון לכל רציפה בקטע <math>n\in\mathbb N[a,b]</math>. לכן נוכל להשאיף נסמן ב-<math>n\toint\infty</math> לקבל <math>\frac13\le A\le\frac13</math> ולכן <math>A=\frac13limits_a^b f</math>את השטח שמתחת לגרף.

==המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי {{הערה|(בצורה אינטואיטיבית)}}= בניית האינטגרל לפי דרבו =תהי <math>f(x)\ge0</math> מוגדרת ורציפה ב- אחר כך! <math>[a,b]</math>.# לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>A(x)=\int\limits_a^x f</math> אזי <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)=A'(x)</math>.# אם F קדומה ל-f ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^b f=F(b)-F(a)</math>.

'''הגדרה===הוכחה===[[קובץ:''' תהי הוכחה אינטואיטיבית למשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי.png|ימין|ממוזער|350px]]# יהי x נתון. לפי ההגדרה <math>fA'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math> מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה בגרף: <math>F=A(x+\Delta x)-A(x)</math> קדומה להשטח של החלק הירוק ו-f ב-I אם <math>=\forall Delta x</math> בסיס החלק הירוק. לפיכך <math>=\in I:frac{A(x+\ FDelta x)-A(x)}{\Delta x}</math> הגובה הממוצע של הפונקציה בחלק הירוק. לכן <math>=A'(x)</math> הגובה הממוצע של החלק הירוק (כאשר <math>\Delta x\to0</math>) <math>f(x)=</math>. {{משל}}# נתונה פונקציה קדומה F. מחלק 1 ידוע גם ש-A פונקציה קדומה (של f). לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math> ולכן <math>F(b)-F(a)=A(b)+c-(\underbrace{A(a)}_{=0}+c)=A(b)=\int\limits_a^b f</math>.{{משל}}

''דוגמה=האינטגרל לפי דרבו===הקדמה - הגדרות==[[קובץ:''הגדרת הערכים באינטגרל לפי דרבו.png|שמאל|500px|ממוזער]]תהי f מוגדרת וחסומה ע"י <math>m:=\inf f</math> ו- <math>M:=\sup f</math> בקטע <math>[a,b]</math>.נגדיר את התנודה של f ע"י <math>\Omega:=M-m</math>.כעת נגדיר חלוקה P של <math>[a,b]</math> כקבוצה <math>\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> המקיימת: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. עוד נגדיר לכל k את אורך תת קטע מספר k להיות <math>\Delta x_k:=x_k-x_{k-1}</math> ואת הפרמטר של P להיות <math>\lambda(P):=\max_{k=1}^n\Delta x_k</math>.

'''משפט 0:''' אם לכל k כך ש-<math>F(x)1\le k\le n</math> ו-נגדיר גם <math>GM_k:=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> קדומות ל-וכן <math>m_k:=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> בקטע I אז קיים קבוע c כך ש. בהתאם לכך נגדיר:* שטח חוסם -הסכום העליון: <math>F\overline S(xf,P):=G\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k</math>* שטח חסום - הסכום התחתון: <math>\underline S(xf,P)+c:=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math>

'''הוכחה:''' נגדיר <math>H(x)=F(x)-G(x)</math> לכן <math>H'(x)=F'(x)-G'(x)</math> ....משפט 1==לפי תוצאה ממשפט לגראנג' בסימונים הנ"ל, עבור כל חלוקה P מתקיים <math>Fm(x)b-G(xa)=H\le\underline S(xf,P)=c\implies Fle\overline S(xf,P)=G\le M(xb-a)+c</math>.

----'''הגדרה:''' תהי נשים לב כי לפי משפט 1 המספרים <math>f\overline S(xf,P),\ge0</math> רציפה בקטע <math>[aunderline S(f,b]P)</math>...חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f).

המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית): תהי לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" <math>f(x)\ge0</math> מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math>. לכל <math>xoverline{\in[a,int}_a^b]</math> נגדיר <math>A(x)f:=\intinf_P \limits_a^x overline S(f(t,P)dt</math> אזי ו"האינטגרל התחתון" <math>\underline\int_a^b f(x):=A'\sup_P \underline S(xf,P)</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>.

2) אם ==הגדרת האינטגרל לפי דרבו==תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>F(x)[a,b]</math> קדומה ל. נאמר ש-<math>f(x)</math> אינטגרבילית לפי דרבו ב-<math>[a,b]</math> אם <math>\underline\int_a^b f=\overline{\int}_a^b f</math> ואם הם שווים אז נגדיר <math>\int\limits_a^bf(t)dt=F(b)f</math> להיות הערך המשותף של <math>\underline\int f</math> ו-F(a)<math>\overline{\int} f</math>.

===דוגמה===בקטע <math>[a,b]</math> כלשהו נגדיר את פונקצית דיריכלה <math>D(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\0&x\not\in\mathbb Q\end{cases}</math>.נקח חלוקה כלשהי ל----<math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>.

'''הוכחה:''' לכל k מתקיים <math>M_k=\sup\{f(אx) :\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(3x)רואים :\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0</math>A. לכן <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 1\Delta x_k=b-a</math> ואילו <math>\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 0\Delta x_k=0</math>המטרה . מכאן <math>A(\underline\int_a^bf=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-<math>\intoverline{\limits_aint}_a^bfb f=\inf_P \overline S(tf,P)dt=b-a</math>, וכייוון שאינם שווים f אינה אינטגרבילית.{{משל}}

כעת לפי ההגדרה <math>A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math>---

כאשר '''הגדרה:''' תהי P חלוקה של קטע <math>\Delta x\to0[a,b]</math> זה שואף ל-. חלוקה Q של <math>f(x)</math> שהיא <math>A(x)[a,b]</math>נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.

(ב) נתונה פונקציה קדומה <math>F(x)</math> אבל מחלק א ידוע שגם <math>A(x)</math> פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math> לכן <math>F(b)-F(a)=A(b)+c-\underbrace{(A(a)+c)}{=0}=A(b)=\int\limits_a^bf(x)dx</math> === הגישה של דרבו =משפט 2==תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה <math>m\le F(x)\le M</math> בקטע ב-<math>[a,b]</math>. נגדיר את התנודה של f ע"י <math>\Omega=M-m</math>. כעת נגדיר , תהי P חלוקה P של <math>[a,b]</math> <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>  עוד נגדיר לכל <math>k</math> אורך תת קטע מספר k = <math>\Delta x_k=x_kו-x_{k-1}</math> והפרמטר Q עידון של P, <math>\lambda(P)</math> מוגדר ע"י <math>\lambda(P)=\max_{1\le k\le n}\Delta x_k</math> לכל k, <math>1\le k\le n</math> נגדיר <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>הוספת r נקודות.אזי  (4) בהתאם לכך נגדיר "שטח חוסם" 0הסכום העליון<math>\bar S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math>ושטח חסום תחתון<math>\underline S(A,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math> left|<math>\bar S(f,P)=\sum_{k=1}^nm_k\Delta x_k</math>  משפט 1: עבור כל חלוקה P <math>m(b-a)0\le\underline overline S(f,P)\le\bar S(f,P)\le M(b-a)</math> הוכחה: <math>m(b-a)=m\sum_{k=1}^n\Delta x_k</math> (כי \sum_{k=1}^n\Delta x_k = סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה = b-a) <math>=\sum_{k=1}^n m\Delta x_k\le \sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math> (כי לכל k מתקיים <math>m\le m_k</math>) <math>=\underline overline S(f,PQ)\ler\sum_{k=1}^n M_k \Delta x_k=\bar Slambda(f,P)\le\sum_{k=1}^n M\Delta x_k=M\sum_{k=1}^n \Delta x_k=M(b-a)</math> לפי משפט 1 המספרים <math>\bar S(f,P),\underline S(f,P)</math> חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f). לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" <math>\bar\int\limits_a^b f(x)dx=\inf_P \bar S(f,P)</math> ו"האינטגרל התחתון" <math>\underline\int\limits_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P)</math>. === הגדרת האינטגרל לפי דרבו ===תהי f(x) מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math> נאמר ש-f אינטגרבילית (דרבו) ב-<math>[a,b]</math> אם <math>\underline\int\limits_a^b f(x)dx=\bar\int\limits_a^b f(x)dx</math> ואם הם שווים אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f(x)dx</math> להיות הערך המשותף של <math>\underline\int f</math> ו-<math>\bar\int f</math>.----דוגמהף בקטע <math>[a,b]</math> כלהו נגדיר את פונקצית דיריכלה <math>f(x)=\begin{cases}q\quad x\in\mathbb Q\\0\quad x\not\in\mathbb Q\end{cases}</math>.נקח חלוקה כלשהי ל-<math>[a,b]Omega</math>

<math>a=x_00\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega<x_1/math>}}(נזכיר ש-<math>\dotslambda(P)=\max_{1\le k\le n}\Delta x_k<x_n/math> ו-<math>\Omega=\sup_{x\in[a,b]} f(x)-\inf_{x\in[a,b]} f(x)</math> לכל k )

<math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{kכלומר, הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-1}\le x\le x_k\}=1</math> וכן <math>m_k=r\inf\{flambda(xP):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0Omega</math>.

===הוכחה===מקרה ראשון: <math>r=1</math>. ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת <math>x_i'</math> כך ש-<math>x_{i-1}<x_i'<x_i</math> עבור i כלשהו. בהתאם לכך נגדיר <math>M_i^-:=\sup\{f(x):\ x_{i-1}\le x\le x_i'\}</math> ו-<math>M_i^+:=\sup\{f(x):\ x_i'\le x\le x_i\}</math>.כמו כן, לא שינינו כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> עבור <math>k\not=i</math> כלשהו. לכן <math>\bar overline S(f,P)=-\sum_{koverline S(f,Q)=1}^n M_kM_i\Delta x_k=x_i-\sum_Big(M_i^-(x_i'-x_{k=i-1})+M_i^n 1\Delta x_k=b+(x_i-ax_i')\Big)</math>

ואילו לפי ההגדרות <math>M_i\underline ge M_i^+,M_i^-</math> ולפיכך {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)=-\sum_overline S(f,Q)&\ge M_i\Delta x_i-\Big(M_i(x_i'-x_{k=i-1}^n m_k)+M_i(x_i-x_i')\Delta x_kBig)\\&=M_i\sum_Big(\Delta x_i-(x_i'-x_{k=i-1}+x_i-x_i')^n 0\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_kx_i-(x_i-x_{i-1})\Big)\\&=0\end{align}</math>.}}

מכאן <math>\underline\int\limits_a^b f(x)dx{{המשך סיכום|תאריך=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-<math>\bar\int\limits_a^b f(x)dx=\inf_P \bar S(f,P)=b-a</math>22. הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית2.11}}

הגדרה: תהי P חלוקה של קטע כמו כן,{{left|<math>[a\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,b]</math>. חלוקה Q של <math>[a,b])&\le M_i(x_i-x_{i-1})-m_i(x_i-x_{i-1})\\&=(M_i-m_i)(x_i-x_{i-1})\\&\le\Omega(x_i-x_{i-1})\\&\le\underbrace{r}_{=1}\lambda(P)\Omega\end{align}</math> נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.}}

משפט 2מקרה כללי: תהי Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת r נקודות. נוסיף אותן אחת אחת. הסכום העליון יורד, אבל לא יותר מאשר <math>f\Omega\lambda(xP)</math> מוגדרת וחסומה בבכל אחת מ-r המפעמים. לכן מיד נסיק <math>[a0\le\overline S(f,b]</math>. תהי P חלוקה של <math>[a)-\overline S(f,b]Q)\le r\Omega\lambda(P)</math> ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז

(כאשר ===מסקנה 1===נקח f כנ"ל ונניח ש-P ו-Q הן שתי חלוקות כלשהן של <math>[a,b]</math>. אזי <math>\lambdaunderline S(f,P)=\max_{1\le k\le n}\Delta x_koverline S(f,Q)</math> ו-.====הוכחה====נבנה עידון משותף, ז"א <math>\OmegaR=P\supcup Q</math>. לפי משפט 2 מתקיים <math>\{funderline S(xf,P)\}-le\inf\{underline S(f,R)\le \overline S(xf,R)\}le\overline S(f,Q)</math>). {{משל}}

ז===מסקנה 2===עבור f כנ"א הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מל מתקיים <math>\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f</math>.====הוכחה====מסקנה 1 אומרת שלכל שתי חלוקות P,Q של <math>[a,b]</math> מתקיים <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math> ולכן <math>\sup_P\underline S(f,P)\le\inf_Q\overline S(f,Q)</math>. כמו כן, לפי ההגדרה <math>\underline\int_a^b f=\sup_Q\underline S(f,Q)</math> ו-<math>\lambdainf_P\overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f</math>. {{משל}}