שינויים

== {{כותרת נושא|אינטגרציה ==|נושא ראשון}}'''הגדרה שגוייההערה:''' אינטגרל האינטגרל הוא '''לא השטח ''' שטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח שמתחת מתחת לגרף מוגדר להיות תוצאת לפי האינטגרל .===דוגמת חישוב (כפי שאנחנו מכירים מהחומר לבגרותידני) של שטח שמתחת לגרף===[[קובץ:השטח מתחת ל-x בריבוע לפי מלבנים.png|300px|ממוזער|ימין|הגרף של <math>y=x^2</math> והמלבנים החוסמים (עם גבול ירוק) והחסומים (בצבע כחול).]]נתון הגרף של <math>y=x^2</math> ונרצה לחשב את השטח שמתחת לו בקטע <math>[0,1]</math>.נחלק את הקטע:{{left|<math>0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1</math>}}כך שבאופן כללי <math>x_k=k/n</math> (בגרף מוצג המקרה הפרטי <math>n=4</math>).

דוגמת חישוב מעל כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חוסם" שגובהו <math>\left(ידני{k\over n}\right) של השטח^2=x_k^2</math>. שטח כל המלבנים הללו הוא "שטח חוסם" {{left|<math>\overline S:=\sum_{k=1}^n\frac1n\left({k\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math>}}

כמו כן, מעל כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חסום" שגובהו <math>\left({k-1\over n}\right)^2=x_{k-1}^2</math>. ביחד מלבנים אלה מהווים "שטח חסום" {{left|<math>\underline S:=\frac1n\sum_{k=1}^n\left({k-1\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}</math>}}

ברור שטחי המלבנים בוודאי גדול משטח הגרף (נתעלם כרגע מהעובדה שלא הגדרנו כעת, אם A מציין את האינטגרל ולכן השטח לא מוגדרשמתחת לגרף, בוודאי ש-<math>\underline S\le A\le\overline S</math>, ז"א <math>\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}\le A\le\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}</math>. הדבר נכון לכל <math>n\in\mathbb N</math> ולכן נוכל להשאיף את <math>n\to\infty</math> ולקבל <math>\frac13\le A\le\frac13</math>, לכן <math>A=\frac13</math>.{{משל}}

מעל כל תת קטע קטן '''הגדרה:''' תהי f מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה F קדומה ל-f ב-I אם <math>[x_{k-1},x_k]\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)</math>.

נבנה "מלבן חוסם" שגובהו ''דוגמה:'' אם <math>\leftf({k\over n}\rightx)^2=x_kx^2</math>. ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם אז <math>F(x)=\frac{x^3}3</math>.

line S===הוכחה===[[קובץ:הוכחה אינטואיטיבית למשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי.png|ימין|ממוזער|350px]]# יהי x נתון. לפי ההגדרה <math>A'(x)=\sum_lim_{k=1\Delta x\to0}^n\frac1nfrac{A(x+\leftDelta x)-A(x)}{k\over nDelta x}</math>. בגרף: <math>=A(x+\rightDelta x)^2-A(x)</math> השטח של החלק הירוק ו-<math>=\frac1Delta x</math> בסיס החלק הירוק. לפיכך <math>=\frac{n^3}A(x+\sum_Delta x)-A(x)}{k=1\Delta x}^nk^2</math> הגובה הממוצע של הפונקציה בחלק הירוק. לכן <math>=A'(x)</math> הגובה הממוצע של החלק הירוק (כאשר <math>\fracDelta x\to0</math>) <math>f(x)=</math>. {n{משל}}# נתונה פונקציה קדומה F. מחלק 1 ידוע גם ש-A פונקציה קדומה (nשל f). לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+1c</math> ולכן <math>F(b)-F(2na)=A(b)+1c-(\underbrace{A(a)}_{6n^3=0}+c)=A(b)=\int\limits_a^b f</math>. {{משל}}

כמו כן, מעל כל קטע קטן =האינטגרל לפי דרבו===הקדמה - הגדרות==[[קובץ:הגדרת הערכים באינטגרל לפי דרבו.png|שמאל|500px|ממוזער]]תהי f מוגדרת וחסומה ע"י <math>m:=\inf f</math> ו- <math>M:=\sup f</math> בקטע <math>[x_{k-1}a,x_kb]</math> נבנה . נגדיר את התנודה של f ע"מלבן חסום" שגובהו י <math>\left({kOmega:=M-1m</math>. כעת נגדיר חלוקה P של <math>[a,b]</math> כקבוצה <math>\over n}{x_0,x_1,\dots,x_n\right)^2=x_{k-1}^2</math> ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום המקיימת: <math>a=x_0<x_1<\underline Sdots<x_n=b</math>. עוד נגדיר לכל k את אורך תת קטע מספר k להיות <math>\frac1n\sum_{kDelta x_k:=1}^n\left(x_k-x_{k-1\over n}</math> ואת הפרמטר של P להיות <math>\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nlambda(k-1P)^2:=\frac1{n^3}\sum_max_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}Delta x_k</math>.

כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי לכל k כך ש-<math>1\underline Sle k\le An</math> נגדיר גם <math>M_k:=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\lex\le x_k\}</math> וכן <math>m_k:=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>. בהתאם לכך נגדיר:* שטח חוסם - הסכום העליון: <math>\overline S(f,P):=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k</math>* שטח חסום - הסכום התחתון: <math>\underline S(f,P):=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math>.

==משפט 1==בסימונים הנ"ל, עבור כל חלוקה P מתקיים <math>m(2b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>.

ז"א <math>\frac===הוכחה==={n|{{=|l=m(n+1b-a)(2n+ |r=\sum_{k=1)}{6n^3}n m\le A\leDelta x_k |c=<math>=\fracsum_{n(n+k=1)(2n+1)}{6n^3}n\Delta x_k</math>.הדבר נכון לכל סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה <math>n\in\mathbb Nb-a=</math>. , לכן נוכל להשאיף <math>:}}{{=|r=\sum_{k=1}^nm_k\toDelta x_k=\inftyunderline S(f,P) |o=\le |c=לכל k מתקיים </math> לקבל m\le m_k</math>.}}{{=|r=\frac13sum_{k=1}^n M_k \le ADelta x_k=\overline S(f,P) |o=\le}}{{=|r=\frac13</math> ולכן <math>Asum_{k=1}^n M\frac13</math>Delta x_k |o=\le}}{{=|r=M(b-a)}}|}{{משל}}

=== בניית האינטגרל נשים לב כי לפי דרבו משפט 1 המספרים <math>\overline S(f,P),\underline S(f,P)</math> חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב- אחר כך ===P (אבל בוודאי תלוי ב-f).

'''הגדרה:''' תהי לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" <math>\overline{\int}_a^b f:=\inf_P \overline S(xf,P)</math> מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה <math>F(x)</math> קדומה ל-f ב-I אם ו"האינטגרל התחתון" <math>\forall xunderline\in Iint_a^b f:=\ F'sup_P \underline S(x)=f(x,P)</math>.

''דוגמה:''==הגדרת האינטגרל לפי דרבו==תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>..נאמר ש-f אינטגרבילית לפי דרבו ב-<math>[a,b]</math> אם <math>\underline\int_a^b f=\overline{\int}_a^b f</math> ואם הם שווים אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f</math> להיות הערך המשותף של <math>\underline\int f</math> ו-<math>\overline{\int} f</math>.

'''משפט 0:''' אם ===דוגמה===בקטע <math>F(x)[a,b]</math> ו-כלשהו נגדיר את פונקצית דיריכלה <math>GD(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\0&x\not\in\mathbb Q\end{cases}</math> קדומות .נקח חלוקה כלשהי ל-<math>f(x)[a,b]</math> בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-: <math>F(x)a=G(x)+cx_0<x_1<\dots<x_n=b</math>.

'''הוכחה:''' נגדיר לכל k מתקיים <math>HM_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1</math> וכן <math>m_k=F\inf\{f(x):\ x_{k-G(1}\le x)\le x_k\}=0</math> . לכן <math>H'\overline S(xf,P)=F'\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 1\Delta x_k=b-a</math> ואילו <math>\underline S(xf,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 0\Delta x_k=0</math>. מכאן <math>\underline\int_a^b f=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-G'<math>\overline{\int}_a^b f=\inf_P \overline S(xf,P)=b-a</math>, וכייוון שאינם שווים f אינה אינטגרבילית. {{משל}}

2) אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math> ב-'''הגדרה:''' תהי P חלוקה של קטע <math>[a,b]</math> אז . חלוקה Q של <math>\int\limits_a^bf(t)dt=F([a,b)-F(a)]</math>נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.

==משפט 2==תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>, תהי P חלוקה של <math>[a,b]</math> ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אזי {{left|<math>0\le\overline S(f,P)--\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math>

'''הוכחה:''' <math>0\le\underline S(אf,Q) -\underline S(3f,P)\le r\lambda(P)\Omega</math>רואים }}(נזכיר ש-<math>A\lambda(aP)=0\max_{1\le k\le n}\Delta x_k</math>המטרה ו-<math>A(\Omega=\sup_{x\in[a,b]} f(x)=-\intinf_{x\limits_a^bfin[a,b]} f(tx)dt</math>.)

כלומר, הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-<math>Ar\lambda(xP)\Omega</math> עולה.

כעת לפי ההגדרה ===הוכחה===מקרה ראשון: <math>Ar=1</math>. ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת <math>x_i'</math> כך ש-<math>x_{i-1}<x_i'<x_i</math> עבור i כלשהו. בהתאם לכך נגדיר <math>M_i^-:=\sup\{f(x)=:\lim_x_{i-1}\Delta le x\to0le x_i'\}</math> ו-<math>M_i^+:=\sup\frac{Af(x+):\Delta x_i'\le x\le x_i\}</math>.כמו כן, לא שינינו כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> עבור <math>k\not=i</math> כלשהו. לכן <math>\overline S(f,P)-A\overline S(xf,Q)}{=M_i\Delta xx_i-\Big(M_i^-(x_i'-x_{i-1})+M_i^+(x_i-x_i')\Big)</math>

בציור לפי ההגדרות <math>A(xM_i\ge M_i^+\Delta x),M_i^-A(x)</math> = השטח הארובהולפיכך {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\ge M_i\Delta x</math> = בסיס הארובהלכן <math>x_i-\frac{ABig(xM_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i')\Delta xBig)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-A(x)}x_i'-x_{i-1}+x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta xx_i-(x_i-x_{i-1})\Big)\\&=0\end{align}</math> = הגובה הממוצע של הארובה.}}

כאשר <math>\Delta x\to0</math> זה שואף ל-<math>f(x)</math> שהיא <math>A(x)</math>{{המשך סיכום|תאריך=22.2.11}}

(ב) נתונה פונקציה קדומה <math>F(x)</math> אבל מחלק א ידוע שגם <math>A(x)</math> פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math> לכן <math>F(b)-F(a)=A(b)+c-\underbrace{(A(a)+c)}_{=0}=A(b)=\int\limits_a^bf(x)dx</math> === הגישה של דרבו ===תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה <math>m\le F(x)\le M</math> בקטע <math>[aכמו כן,b]</math>. נגדיר את התנודה של f ע"י <math>\Omega=M-m</math>. כעת נגדיר חלוקה P של <math>[a,b]</math> <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>  עוד נגדיר לכל <math>k</math> אורך תת קטע מספר k = <math>\Delta x_k=x_k-x_{k-1}</math> והפרמטר של P, <math>\lambda(P)</math> מוגדר ע"י <math>\lambda(P)=\max_{1\le k\le n}\Delta x_kleft|</math> לכל k, <math>1\le k\le n</math> נגדיר <math>M_k=\sup\begin{f(x):\ x_{k-1align}\le x\le x_k\}</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>. (4) בהתאם לכך נגדיר "שטח חוסם" 0הסכום העליון<math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math>ושטח חסום תחתון<math>\underline S(A,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math>  <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^nm_k\Delta x_k</math>  משפט 1: עבור כל חלוקה P <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,PQ)&\le MM_i(bx_i-a)</math> הוכחה: <math>m(b-a)=m\sum_x_{k=1}^n\Delta x_k</math> (כי <math>\sum_{k=1}^n\Delta x_k</math> = סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה = bi-a) <math>=\sum_{k=1}^n m\Delta x_k\le \sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math> (כי לכל k מתקיים <math>m\le m_k</math>) <math>=\underline S-m_i(f,P)\le\sum_x_i-x_{k=i-1}^n M_k \Delta x_k=\overline S(f,P)\le\sum_{k=1}^n M\Delta x_k=M\sum_{k=1}^n \Delta x_k&=M(bM_i-am_i)</math> לפי משפט 1 המספרים <math>\overline S(f,P),\underline S(f,P)</math> חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) בx_i-P (אבל בוודאי תלוי ב-f). לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" <math>\overline\int\limits_a^b f(x)dx=\inf_P \overline S(f,P)</math> ו"האינטגרל התחתון" <math>\underline\int\limits_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P)</math>. === הגדרת האינטגרל לפי דרבו ===תהי f(x) מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math> נאמר ש-f אינטגרבילית (דרבו) ב-<math>[a,b]</math> אם <math>\underline\int\limits_a^b f(x)dx=\overline\int\limits_a^b f(x)dx</math> ואם הם שווים אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f(x)dx</math> להיות הערך המשותף של <math>\underline\int f</math> ו-<math>\overline\int f</math>.----דוגמהף בקטע <math>[a,b]</math> כלהו נגדיר את פונקצית דיריכלה <math>f(x)=\begin{cases}q\quad x\in\mathbb Q\\0\quad x\not\in\mathbb Q\end{cases}</math>.נקח חלוקה כלשהי ל-<math>[a,b]</math>  <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> לכל k  <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{ki-1})\le x\&\le x_k\}=1</math> וכן <math>m_k=\inf\{fOmega(x):\ x_i-x_{ki-1})\le x\&\le x_k\}=0</math> לכן <math>\overline S(f,P)=\sum_underbrace{k=1r}^n M_k\Delta x_k=\sum__{k=1)^n 1\Delta x_k=b-a</math> ואילו <math>\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1)^n 0\Delta x_k=0</math>. מכאן <math>\underline\int\limits_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-<math>\overline\int\limits_a^b f(x)dx=\inf_P \overline S(f,P)=b-a</math>. הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית. הגדרה: תהי P חלוקה של קטע <math>[a,b]</math>. חלוקה Q של <math>[a,b]</math> נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות. משפט 2: תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. תהי P חלוקה של <math>[a,b]</math> ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז  <math>0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math><math>0\le\underline S(f,P)-\underline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omegaend{align}</math>}}

(כאשר מקרה כללי: Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת r נקודות. נוסיף אותן אחת אחת. הסכום העליון יורד, אבל לא יותר מאשר <math>\Omega\lambda(P)=\max_{1\le k\le n}\Delta x_k</math> ובכל אחת מ-r המפעמים. לכן מיד נסיק <math>0\Omega=\suple\{overline S(f,P)-\overline S(xf,Q)\}-le r\infOmega\{flambda(xP)\}</math>).

הוכחה: מקרה ראשון: <math>r===מסקנה 1</math>. ז===נקח f כנ"א Q מתקבלת מל ונניח ש-P ע"י הוספת נקודה אחת <math>x_i'</math>. כך שו-Q הן שתי חלוקות כלשהן של <math>x_{i-1}<x_i'<x_i[a,b]</math>. בהתאם לכך נגדיר אזי <math>M_i'=\sup\{underline S(f(x,P):\ x_{i-1}\le x\le x_i\}</math> ו-<math>M_i''=\sup\{overline S(f(x,Q):\ x_i'\le x\le x_i\}</math>.====הוכחה====כעת בכל תת קטע <math>[x_{k-1}נבנה עידון משותף,x_k]ז"א </math> מתקיים <math>kR=P\not=icup Q</math>. לא שינינו כלום.לכן לפי משפט 2 מתקיים <math>\overline underline S(f,P)-\overline le\underline S(f,QR)=\underbrace{M_Delta x_i}_{(1)}-\underbrace{(M_i'(x_i'-x_{i-1})+M_i''(x_i-x_i'))}_{(2)}</math># תרומת קטע i ל-<math>le \overline S(f,PR)</math># תרומת קטע i ל-<math>\le\overline S(f,Q)</math>. {{משל}}

לפי עצם ההגדרות ===מסקנה 2===עבור f כנ"ל מתקיים <math>M_i\ge M_i'underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f</math> ו-.====הוכחה====מסקנה 1 אומרת שלכל שתי חלוקות P,Q של <math>M_i\ge M_i''[a,b]</math>לכן מתקיים <math>\overline underline S(f,P)-\le\overline S(f,Q)</math> ולכן <math>\ge M_isup_P\Delta x_i-(M_iunderline S(x_i'-x_{i-1}f,P)+M_i\le\inf_Q\overline S(x_i-x_i')f,Q)</math>. כמו כן, לפי ההגדרה <math>\underline\int_a^b f=M_i(\Delta x_i-sup_Q\underline S((x_i'-x_{i-1}f,Q)+(x_i</math> ו-x_i'))<math>\inf_P\overline S(f,P)=M_i(\Delta x_i-(x_i-x_overline{i-1\int}))=0_a^b f</math>. {{משל}}