שינויים

={{כותרת נושא|אינטגרציה=|נושא ראשון}}'''הגדרה שגוייההערה:''' אינטגרל האינטגרל הוא '''לא השטח ''' שטח שמתחת לגרף. עם זאתלמעשה, השטח מתחת לגרף מוגדר לפי האינטגרל נותן אינדיקציה טובה לשטח זה. ====דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף==== נתון הגרף (1). נחשב את [[קובץ:השטח שמתחת לומתחת ל-x בריבוע לפי מלבנים. לצורך כך נחשב תחילה את השטח png|300px|ממוזער|ימין|הגרף של המלבנים הגדולים <math>y=x^2</math> והמלבנים הקטנים (החוסמים (עם גבול ירוק) והחסומים(בצבע כחול).]] ברור שסכום שטחי המלבנים גדול משטח נתון הגרף. נחלק של <math>y=x^2</math> ונרצה לחשב את הקטע השטח שמתחת לו בקטע <math>[0,1]</math>.נחלק את הקטע:

(באופן כך שבאופן כללי <math>x_k=k/n</math> (בגרף מוצג המקרה הפרטי <math>n=4</math>).

מעל כל תת קטע קטן <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חוסם" שגובהו <math>\left({k\over n}\right)^2=x_k^2</math>. ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח כל המלבנים הללו הוא "שטח חוסם " {{left|<math>\overline S:=\sum_{k=1}^n\frac1n\left({k\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math>}}

כמו כן, מעל כל תת קטע קטן <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חסום" שגובהו <math>\left({k-1\over n}\right)^2=x_{k-1}^2</math> . ביחד מלבנים אלה מהווים "שטח חסום " {{left|<math>\underline S:=\frac1n\sum_{k=1}^n\left({k-1\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{n(n+-1)n(2n+-1)}{6n^3}</math>}}

כעת , אם A מציין את השטח שמתחת לגרף , בוודאי ש-<math>\underline S\le A\le\overline S</math>, ז"א <math>\frac{n(n+-1)(2n+-1)}{6n^32}\le A\le\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^32}</math>. הדבר נכון לכל <math>n\in\mathbb N</math> ולכן נוכל להשאיף את <math>n\to\infty</math> ולקבל

 '''הגדרה:''' תהי <math>f(x)</math> מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה <math>F(x)</math> קדומה ל-f ב-I אם <math>\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)</math>.

===משפט 0===אם <math>F(x)</math> ו-<math>G(x)</math> קדומות ל-<math>f(x)</math> בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-<math>F(x)=G(x)+c</math> ====הוכחה====נגדיר <math>H(x)=F(x)-G(x)</math> ולכן <math>\forall x\in I:\ H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0</math>. לפי תוצאה ממשפט לגרנג' <math>F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c</math>. {{משל}}

'''הגדרהאינטואיטיבית:''' תהי <math>f(x)\ge0</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נסמן ב-<math>\int\limits_a^b f(x)dx</math> את השטח שמתחת לגרף.

===המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי {{הערה|(בצורה אינטואיטיבית)=}}==

# לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>A(x)=\int\limits_a^x f(t)dt</math> אזי <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)=A'(x)</math>.# אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^bf(t)dtb f=F(b)-F(a)</math>.

====הוכחה====[[קובץ:הוכחה אינטואיטיבית למשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי.png|ימין|ממוזער|350px]]# יהי x נתון. לפי ההגדרה <olmath>A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}<li/math>גרף . בגרף: <math>=A(3x+\Delta x)-A(x)</math> השטח של החלק הירוק ו-<math>=\Delta x</math> בסיס החלק הירוק. רואים שלפיכך <math>=\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math>הגובה הממוצע של הפונקציה בחלק הירוק. לכן <math>=A'(ax)</math> הגובה הממוצע של החלק הירוק (כאשר <math>\Delta x\to0</math>) <math>f(x)=0</math> וננסה להוכיח . {{משל}}# נתונה פונקציה קדומה F. מחלק 1 ידוע גם ש-A פונקציה קדומה (של f). לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math> ולכן <math>F(b)-F(a)=A(b)+c-(\underbrace{A(a)}_{=0}+c)=A(b)=\int\limits_a^bf(t)dtb f</math>.{{משל}}

יהי x נתון. כעת =האינטגרל לפי ההגדרה דרבו===הקדמה - הגדרות==[[קובץ:הגדרת הערכים באינטגרל לפי דרבו.png|שמאל|500px|ממוזער]]תהי f מוגדרת וחסומה ע"י <math>A'(x)m:=\lim_{inf f</math> ו- <math>M:=\Delta xsup f</math> בקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר את התנודה של f ע"י <math>\to0}Omega:=M-m</math>. כעת נגדיר חלוקה P של <math>[a,b]</math> כקבוצה <math>\frac{A(x+x_0,x_1,\Delta x)-A(x)}{dots,x_n\Delta x}</math>. בציורהמקיימת: <math>A(x+a=x_0<x_1<\Delta x)-A(x)dots<x_n=b</math> = שטח הארובה, . עוד נגדיר לכל k את אורך תת קטע מספר k להיות <math>\Delta xx_k:=x_k-x_{k-1}</math> = בסיס הארובה, לכן ואת הפרמטר של P להיות <math>\frac{Alambda(x+\Delta xP)-A(x)}:=\max_{k=1}^n\Delta x}x_k</math> = הגובה הממוצע של הארובה.

לכן לכל k כך ש-<math>A'(x)1\le k\le n</math> = הגובה הממוצע כאשר נגדיר גם <math>M_k:=\Delta xsup\to0</math> =<math>{f(x)</math>. :\ x_{{משלk-1}\le x\le x_k\}</li><limath>נתונה פונקציה קדומה וכן <math>Fm_k:=\inf\{f(x)</math>. מחלק :\ x_{k-1 ידוע גם ש-<math>A(}\le x)\le x_k\}</math> פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך שבהתאם לכך נגדיר:* שטח חוסם -הסכום העליון: <math>F\overline S(xf,P):=A(x)+c\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k</math>. לכן * שטח חסום - הסכום התחתון: <math>F\underline S(b)-F(af,P):=A(b)+c-(\underbrace{A(a)}_sum_{k=01}+c)=A(b)=^n m_k\int\limits_a^bf(x)dxDelta x_k</math>. {{משל}}</li></ol>

==האינטגרל לפי דרבו=====הקדמה - הגדרות===תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ע"י <math>m:=\inf f(x)</math> ו- <math>M:=\sup f(x)</math> בקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר את התנודה של f ע"י <math>\Omega=M-m</math>. כעת נגדיר חלוקה P של <math>[a,b]</math>:{{left|<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>}}עוד נגדיר לכל <math>k</math> את אורך תת קטע מספר k להיות <math>\Delta x_k=x_k-x_{k-1}</math> ואת הפרמטר של P להיות <math>\lambda(P):=\max_{k=1}^n\Delta x_k</math>. לכל k כך ש-<math>1\le k\le n</math> נגדיר <math>M_k:=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> וכן <math>m_k:=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>. גרף (4). בהתאם לכך נגדיר:* שטח חוסם - הסכום העליון: <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math>* שטח חסום - הסכום התחתון: <math>\underline S(A,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math> ===משפט 1===

====הוכחה====

|c=<math>=\sum_{k=1}^n\Delta x_k</math> = סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה = <math>b-a=</math>, לכן:

לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" <math>\overline{\int}_a^b f(x)dx:=\inf_P \overline S(f,P)</math> ו"האינטגרל התחתון" <math>\underline\int_a^b f(x)dx:=\sup_P \underline S(f,P)</math>.

===הגדרת האינטגרל לפי דרבו===תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית לפי דרבו ב-<math>[a,b]</math> אם <math>\underline\int_a^b f(x)dx=\overline{\int}_a^b f(x)dx</math> ואם הם שווים אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f(x)dx</math> להיות הערך המשותף של <math>\underline\int f</math> ו-<math>\overline{\int} f</math>.

 ====דוגמה====בקטע <math>[a,b]</math> כלשהו נגדיר את פונקצית דיריכלה <math>D(x)=\begin{cases}q1&x\in\mathbb Q\\0&x\not\in\mathbb Q\end{cases}</math>.

לכל k מתקיים <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0</math>. לכן <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 1\Delta x_k=b-a</math> ואילו <math>\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 0\Delta x_k=0</math>.מכאן <math>\underline\int_a^b f=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-<math>\overline{\int}_a^b f=\inf_P \overline S(f,P)=b-a</math>, וכייוון שאינם שווים f אינה אינטגרבילית. {{משל}}

===משפט 2===תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. , תהי P חלוקה של <math>[a,b]</math> ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז אזי

מקרה ראשון: <math>r=1</math>. נבנה עידון משותף, ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת <math>x_i'</math> כך ש-<math>x_{i-1}<x_i'<x_i</math> עבור i כלשהו. בהתאם לכך נגדיר <math>M_i':R=P\sup\{f(x):\ x_{i-1}\le x\le x_i'\}</math> ו-<math>M_i'':=\sup\{f(x):\ x_i'\le x\le x_i\}</math>כעת בכל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]cup Q</math> . לפי משפט 2 מתקיים <math>k\not=i</math> - לא שינינו כלום. לכן <math>\overline underline S(f,P)-\overline le\underline S(f,QR)=\underbrace{M_i\Delta x_i}_{(1)}-\underbrace{(M_i'(x_i'-x_{i-1})+M_i''(x_i-x_i'))}_{(2)}</math># תרומת קטע i ל-<math>le \overline S(f,PR)</math># תרומת קטע i ל-<math>\le\overline S(f,Q)</math>. {{משל}}

לפי עצם ההגדרות ===מסקנה 2===עבור f כנ"ל מתקיים <math>M_i\ge M_i'underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f</math>.====הוכחה====מסקנה 1 אומרת שלכל שתי חלוקות P,M_i''Q של <math>[a,b]</math> ולפיכך {{left|מתקיים <math>\begin{align}\overline underline S(f,P)-\le\overline S(f,Q)&</math> ולכן <math>\ge M_isup_P\Delta x_i-\Bigunderline S(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i'f,P)\Big)le\inf_Q\&=M_i\biggoverline S(\Delta x_i-\Big((x_i'-x_{i-1})+(x_i-x_i'f,Q)</math>. כמו כן, לפי ההגדרה <math>\Big)\bigg)underline\\&int_a^b f=M_i\Big(sup_Q\Delta x_i-underline S(x_i-x_{i-1}f,Q)</math> ו-<math>\Big)inf_P\\&overline S(f,P)=0\endoverline{align\int}_a^b f</math>. {{משל}}