שינויים
<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>
עוד נגדיר לכל <math>k</math> אורך תת קטע מספר k = <math>\Delta x_k=x_k-x_{k-1}</math>
והפרמטר של P, <math>\lambda(P)</math> מוגדר ע"י <math>\lambda(P)=\max_{1\le k\le n}\Delta x_k</math>
לכל k, <math>1\le k\le n</math> נגדיר
<math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>.
(4)
בהתאם לכך נגדיר "שטח חוסם"
0הסכום העליון
<math>\bar S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math>
ושטח חסום תחתון
<math>\underline S(A,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math>
<math>\bar S(f,P)=\sum_{k=1}^nm_k\Delta x_k</math>
משפט 1: עבור כל חלוקה P
<math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\bar S(f,P)\le M(b-a)</math>
הוכחה: <math>m(b-a)=m\sum_{k=1}^n\Delta x_k</math> (כי \sum_{k=1}^n\Delta x_k = סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה = b-a)
<math>=\sum_{k=1}^n m\Delta x_k\le \sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math> (כי לכל k מתקיים <math>m\le m_k</math>)
<math>=\underline S(f,P)\le\sum_{k=1}^n M_k \Delta x_k=\bar S(f,P)\le\sum_{k=1}^n M\Delta x_k=M\sum_{k=1}^n \Delta x_k=M(b-a)</math>
לפי משפט 1 המספרים <math>\bar S(f,P),\underline S(f,P)</math> חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f).
לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" <math>\bar\int\limits_a^b f(x)dx=\inf_P \bar S(f,P)</math> ו"האינטגרל התחתון" <math>\underline\int\limits_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P)</math>.
=== הגדרת האינטגרל לפי דרבו ===
תהי f(x) מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math> נאמר ש-f אינטגרבילית (דרבו) ב-<math>[a,b]</math> אם <math>\underline\int\limits_a^b f(x)dx=\bar\int\limits_a^b f(x)dx</math> ואם הם שווים אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f(x)dx</math> להיות הערך המשותף של <math>\underline\int f</math> ו-<math>\bar\int f</math>.
----
דוגמהף בקטע <math>[a,b]</math> כלהו נגדיר את פונקצית דיריכלה <math>f(x)=\begin{cases}q\quad x\in\mathbb Q\\0\quad x\not\in\mathbb Q\end{cases}</math>.
נקח חלוקה כלשהי ל-<math>[a,b]</math>
<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> לכל k
<math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0</math>
לכן <math>\bar S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1)^n 1\Delta x_k=b-a</math>
ואילו <math>\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1)^n 0\Delta x_k=0</math>.
מכאן <math>\underline\int\limits_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-<math>\bar\int\limits_a^b f(x)dx=\inf_P \bar S(f,P)=b-a</math>. הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית.
הגדרה: תהי P חלוקה של קטע <math>[a,b]</math>. חלוקה Q של <math>[a,b]</math> נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.
משפט 2: תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. תהי P חלוקה של <math>[a,b]</math> ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז
<math>0\le\bar S(f,P)-\bar S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math>
<math>0\le\underline S(f,P)-\underline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math>
(כאשר <math>\lambda(P)=\max_{1\le k\le n}\Delta x_k</math> ו-<math>\Omega=\sup\{f(x)\}-\inf\{f(x)\}</math>)
ז"א הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-<math>\lambda(P)</math>
