שינויים
ז"א הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-<math>\lambda(P)</math>
הוכחה: מקרה ראשון: <math>r=1</math>. ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת <math>x_i'</math>. כך ש-<math>x_{i-1}<x_i'<x_i</math>. בהתאם לכך נגדיר <math>M_i'=\sup\{f(x):\ x_{i-1}\le x\le x_i\}</math> ו-<math>M_i''=\sup\{f(x):\ x_i'\le x\le x_i\}</math>
כעת בכל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> מתקיים <math>k\not=i</math>. לא שינינו כלום.
לכן <math>\bar S(f,P)-\bar S(f,Q)=\underbrace{M_Delta x_i}{(1)}-\underbraces{(M_i'(x_i'-x_{i-1})+M_i''(x_i-x_i'))}{(2)}</math>
# תרומת קטע i ל-<math>\bar S(f,P)</math>
# תרומת קטע i ל-<math>\bar S(f,Q)</math>
לפי עצם ההגדרות <math>M_i\ge M_i'</math> ו-<math>M_i\ge M_i''</math>
לכן <math>\bar S(f,P)-\bar S(f,Q)\ge M_i\Delta x_i-(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i'))=M_i(\Delta x_i-((x_i'-x_{i-1})+(x_i-x_i')))=M_i(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1}))=0</math>
