שינויים
מעל כל תת קטע קטן <math>[x_{k-1},x_k]</math>
נבנה "מלבן חוסם" שגובהו <math>\left({k\over n}\right)^2=x_k^2</math>. ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם <math>\bar S=\sum_{k=1}^n\frac1n\left(k\over n\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math>
line S=\sum_{k=1}^n\frac1n\left({k\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math> כמו כן, מעל כל קטע קטן <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חסום" שגובהו <math>\left({k-1\over n}\right)^2=x_{k-1}^2</math> ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום <math>\underline S=\frac1n\sum_{k=1}^n\left({k-1\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math> כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-<math>\underline S\le A\le\bar overline S</math>.
(2)
<math>\frac13\le A\le\frac13</math> ולכן <math>A=\frac13</math>
=== בניית האינטגרל לפי דרבו - אחר כך! ===
'''הגדרה:''' תהי <math>f(x)</math> מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה <math>F(x)</math> קדומה ל-f ב-I אם <math>\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)</math>.
כעת לפי ההגדרה <math>A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math>
בציור <math>A(x+\Delta x})-A(x)</math> = השטח הארובה
<math>\Delta x</math> = בסיס הארובה
לכן <math>\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math> = הגובה הממוצע של הארובה.
(ב) נתונה פונקציה קדומה <math>F(x)</math> אבל מחלק א ידוע שגם <math>A(x)</math> פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math>
לכן <math>F(b)-F(a)=A(b)+c-\underbrace{(A(a)+c)}_{=0}=A(b)=\int\limits_a^bf(x)dx</math>
=== הגישה של דרבו ===
בהתאם לכך נגדיר "שטח חוסם"
0הסכום העליון
<math>\bar overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math>
ושטח חסום תחתון
<math>\underline S(A,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math>
<math>\bar overline S(f,P)=\sum_{k=1}^nm_k\Delta x_k</math>
משפט 1: עבור כל חלוקה P
<math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\bar overline S(f,P)\le M(b-a)</math>
הוכחה: <math>m(b-a)=m\sum_{k=1}^n\Delta x_k</math> (כי <math>\sum_{k=1}^n\Delta x_k </math> = סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה = b-a)
<math>=\sum_{k=1}^n m\Delta x_k\le \sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math> (כי לכל k מתקיים <math>m\le m_k</math>)
<math>=\underline S(f,P)\le\sum_{k=1}^n M_k \Delta x_k=\bar overline S(f,P)\le\sum_{k=1}^n M\Delta x_k=M\sum_{k=1}^n \Delta x_k=M(b-a)</math>
לפי משפט 1 המספרים <math>\bar overline S(f,P),\underline S(f,P)</math> חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f).
לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" <math>\baroverline\int\limits_a^b f(x)dx=\inf_P \bar overline S(f,P)</math> ו"האינטגרל התחתון" <math>\underline\int\limits_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P)</math>.
=== הגדרת האינטגרל לפי דרבו ===
תהי f(x) מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math> נאמר ש-f אינטגרבילית (דרבו) ב-<math>[a,b]</math> אם <math>\underline\int\limits_a^b f(x)dx=\baroverline\int\limits_a^b f(x)dx</math> ואם הם שווים אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f(x)dx</math> להיות הערך המשותף של <math>\underline\int f</math> ו-<math>\baroverline\int f</math>.
----
דוגמהף בקטע <math>[a,b]</math> כלהו נגדיר את פונקצית דיריכלה <math>f(x)=\begin{cases}q\quad x\in\mathbb Q\\0\quad x\not\in\mathbb Q\end{cases}</math>.
<math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0</math>
לכן <math>\bar overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1)^n 1\Delta x_k=b-a</math>
ואילו <math>\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1)^n 0\Delta x_k=0</math>.
מכאן <math>\underline\int\limits_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-<math>\baroverline\int\limits_a^b f(x)dx=\inf_P \bar overline S(f,P)=b-a</math>. הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית.
הגדרה: תהי P חלוקה של קטע <math>[a,b]</math>. חלוקה Q של <math>[a,b]</math> נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.
משפט 2: תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. תהי P חלוקה של <math>[a,b]</math> ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז
<math>0\le\bar overline S(f,P)-\bar overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math>
<math>0\le\underline S(f,P)-\underline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math>
הוכחה: מקרה ראשון: <math>r=1</math>. ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת <math>x_i'</math>. כך ש-<math>x_{i-1}<x_i'<x_i</math>. בהתאם לכך נגדיר <math>M_i'=\sup\{f(x):\ x_{i-1}\le x\le x_i\}</math> ו-<math>M_i''=\sup\{f(x):\ x_i'\le x\le x_i\}</math>
כעת בכל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> מתקיים <math>k\not=i</math>. לא שינינו כלום.
לכן <math>\bar overline S(f,P)-\bar overline S(f,Q)=\underbrace{M_Delta x_i}_{(1)}-\underbracesunderbrace{(M_i'(x_i'-x_{i-1})+M_i''(x_i-x_i'))}_{(2)}</math># תרומת קטע i ל-<math>\bar overline S(f,P)</math># תרומת קטע i ל-<math>\bar overline S(f,Q)</math>
לפי עצם ההגדרות <math>M_i\ge M_i'</math> ו-<math>M_i\ge M_i''</math>
לכן <math>\bar overline S(f,P)-\bar overline S(f,Q)\ge M_i\Delta x_i-(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i'))=M_i(\Delta x_i-((x_i'-x_{i-1})+(x_i-x_i')))=M_i(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1}))=0</math>
