שינויים

מקרה ראשון: <math>r=1</math>. ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת <math>x_i'</math> כך ש-<math>x_{i-1}<x_i'<x_i</math> עבור i כלשהו. בהתאם לכך נגדיר <math>M_i'^-:=\sup\{f(x):\ x_{i-1}\le x\le x_i'\}</math> ו-<math>M_i''^+:=\sup\{f(x):\ x_i'\le x\le x_i\}</math>.כעת בכל כמו כן, לא שינינו כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> מתקיים עבור <math>k\not=i</math> - לא שינינו כלוםכלשהו. לכן <math>\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)=\underbrace{M_i\Delta x_i}_{(1)}-\underbrace{Big(M_i'^-(x_i'-x_{i-1})+M_i''^+(x_i-x_i'))}_{(2)}</math># תרומת קטע i ל-<math>\overline S(f,P)</math># תרומת קטע i ל-<math>\overline S(f,QBig)</math>

 לפי עצם ההגדרות <math>M_i\ge M_i',M_i''</math> ולפיכך {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\ge M_i\Delta x_i-\Big(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\biggBig(\Delta x_i-\Big((x_i'-x_{i-1})+(x_i-x_i')\Big)\bigg)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1})\Big)\\&=0\end{align}</math>}}