שינויים

<li>==שטח הפנים המטעפת של גוף סיבוב (ללא הבסיסים)==[[קובץ: חרוט קטום.png|שמאל|100px]][[קובץ:קירוב שטח פנים של גוף סיבוב.png|ימין|400px|ממוזער|בסרטוט חילקנו את הקטע ל-6 קטעים ובכל קטע בנינו חרוט קטום שרדיוס הבסיס הימני שלו הוא <math>f(x_k)</math> ושיפוע היוצר העובר בנקודה <math>(x_k,f(x_k),0)</math> הוא <math>f'(x_k)</math>.]]נחלק את הקטע <math>[a,b]</math> לתתי קטעים <math>[x_{k-1},x_k]</math> עבור כמה k-יםובכל קטע נחסום חרוט קטום (חרוט קטום הוא חרוט שהוסר ממנו הקודקוד ע"י "חיתוך" חלק בעזרת מישור המקביל לבסיס). שטח הפנים המעטפת של החרוט הקטום הוא <math>2\pi rS(r_1+r_2)S</math> (כאשר r רדיוס הבסיס הגדול יותר <math>r_1,r_2</math> רדיוסי הבסיסים של הקונוס החרוט הקטום הנוצר בקטע=<math>[x_{k-1},x_k]</math>, כלומר <math>f(x_k)-f'(x_k)\Delta x_k,f(x_k)</math> וכן <math>S=\sqrt{1+f'(x_k)^2}\Delta x_k</math>הוא אורך היוצר (יוצר של חרוט קטום הוא קו ישר המחבר בין נקודה על שפת אחד הבסיסים לנקודה הקרובה ביותר לה בשפת הבסיס השני). לפי זה שטח המעטפת כולו מקורב ע"י הסכום {{left|<math>\begin{align}&\sum_{k=1}^n\pi(2f(x_k)-f'(x_k)\Delta x_k)\sqrt{1+f'(x_k)^2}\Delta x_k=\\=&\sum_{k=1}^n2\pi f(x_k)\sqrt{1+f'(x_k)^2}\Delta x_k-\sum_{k=1}^n\pi f'(x_k)\sqrt{1+f'(x_k)^2}\Delta x_k^2\end{align}</math>. }}כאשר <math>\lambda(P)\to0</math> ביטוי זה שואף לאינטגרל ל-<math>\int\limits_a^b2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx-0</math> והוא וזה שטח המעטפת לגוף הסיבוב הנוצר ע"י סיבוב <math>y=f(x)</math> בין a ל-b סביב ציר ה-x.

===דוגמה===נחשב את שטח המעטפת (=שטח השווה לשטח הפנים) של כדור בעל רדיוס r: מתקיים <math>f(x)=\sqrt{r^2-x^2}</math> ולכן <math>f'(x)=-\frac x\sqrt{r^2-x^2}</math>. השטח הוא {{left|<math>\begin{align}\int\limits_{-r}^r 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx&=\int\limits_{-r}^r2\pi\sqrt{r^2-x^2}\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}\mathrm dx\\&=\int\limits_{-r}^r2\pi\sqrt{r^2-x^2+x^2}\mathrm dx\\&=2\pi[rx]_{x=-r}^r\\&=4\pi r^2\end{align}</math>}}{{משל}}

 [[קובץ:חישוב שטח פנים של כדור.png|ימין|400px]]נחשב שטח פנים של כדור ללא אינטגרל: גרף 4 עפ"י שיוויון דימיון משולשים <math>\frac raar=\frac{\Delta x}S</math> ולכן <math>rSaS=ar\Delta x</math> . אותה חתיכת הגרף 'S' מסתובבת סביב ציר ה-x ליצור שטח <math>2\pi r \left(2a-\sqrt{S^2-(\Delta x)^2}\right)S=2\pi r\Delta x-\pi S\sqrt{S^2-(\Delta x)^2}</math> (כי רדיוסי הבסיסים של החרוט הקטום הם <math>a,a-\sqrt{S^2-(\Delta x)^2}</math>). ז"א , בכל מקום שנבנה שטח קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> שבו נבנה חרוט קטום ע"י סיבוב קטע קו באורך <math>\Delta xS</math> יווצר שטח באורך <math>2\pi ar\Delta xx_k-\pi S\sqrt{S^2-(\Delta x_k)^2}</math>. כעת , אם נסכם על כל הקטעים אינסוף קטעים לאורך הקטע <math>[-ar,ar]</math> נבנה כך שלכל קטע <math>\Delta x_k\to0</math> יבנה שטח כולל <math>2\pi ar\sum\Delta x-\sum0=2\pi ar(2ar-(-r))=4\pi ar^2</math>, כפי שציפינו.

<li> ==חישוב עבודה==בפיזיקה, כאשר כוח <math>\vec F</math> קבוע פועל בקטע באורך s אומרים שהוא עשה עבודה <math>W=\vec Fs</math>.כעת נחשב את העבודה שנעשית ע"י כוח משתנה <math>F(x)</math> לאורך הקטע <math>x\in[a,b]</math> בציר הזמן. נעשה חלוקה <math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math>. בכל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math>, <math>F(x)</math> תקבל מקסימום <math>M_k</math> ומינימום <math>m_k</math> ולכן העבודה הנעשית ע"י F בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> (נקרא לה <math>W_k</math>) מקיימת <math>m_k\Delta x_k\le W_k\le M_k\Delta x</math>. בסה"כ העבודה לאורך הקטע היא <math>W=\sum_{k=1}^n W_k</math> כאשר <math>\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k\le W\le\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k</math>. יש כאן <math>\underline S(F,P)\le W\le \overline S(F,P)</math> וכאשר <math>\lambda(P)\to0</math> זה שואף לגבול אחד <math>W=\int\limits_a^b F(x)\mathrm dx</math>.

<li>==העבודה שווה לשינוי באנרגיה הקינטית==החוק השני של ניוטון אומר <math>F=ma</math> ואם מדובר בחלקיק או אדם שהולך בקו ישר (על ציר ה-x) אז התנועה שלו מתוארת ע"י הפונקציה <math>x=x(t)</math> (לכל t נקודה בזמן). לפיכך מהירותו היא <math>v(t)=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}</math> ותאוצתו <math>a(t)=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}</math>. לפי ניוטון <math>F=ma=m\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}=m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}</math>. לפי כלל השרשרת אפשר לכתוב <math>\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}</math> ולכן <math>F=m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}v</math>. לכן העבודה שנעשית ע"י <math>F(x)</math> בין a ל-b היא {{left|<math>\begin{align}W&=\int\limits_a^b F(x)\mathrm dx\\&=\int\limits_a^b m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}v\mathrm dx\\&=\left[\frac{mv^2}2\right]_{x=a}^b\end{align}</math>}} ז"א העבודה שווה לשינוי באינרגיה הקינטית.

''הסבר לנוסחה'': <math>\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}</math>. : כאן מניחים ש-<math>x(t)=x</math> ו-<math>v(x)=v</math>. בזה נוצרת פונקציה מרוכבת <math>v(x(t))</math>. למדנו את כלל השרשרת <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}v(x(t))=v'(x(t))x'(t)</math> כלומר <math>\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}</math>.

# <h2>אינטגרציה בעזרת פיתוח טיילור. </h2>לדוגמה, נחשב <math>\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx</math> בדיוק של <math>10^{-6}</math>: כבר למדנו פיתוח טיילור לפונקציה <math>e^t</math>: <math>e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\dots+\frac{t^n}{n!}+R_n(t)</math> כאשר <math>R_n(t)=\frac{f^{(n+1)}(c)t^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{e^ct^{n+1}}{(n+1)!}</math> לאיזה c בין 0 ל-t. נציב <math>t=x^2</math>: <math>e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\dots+\frac{x^{2n}}{n!}+R_n\left(x^2\right)</math>. לכן <math>\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx=\int\limits_0^1 P_n\left(x^2\right)\mathrm dx+\int\limits_0^1 R_n\left(x^2\right)\mathrm dx</math>. אנו זקוקים ל-n כך ש-<math>\left|\int\limits_0^1 R_n\left(x^2\right)\mathrm dx\right|=\left|\int\limits_0^1\frac{e^cx^{2n+2}}{(n+1)!}\right|<10^{-6}</math>. לכל <math>x\in[0,1]</math> מתקיים <math>e^0\le e^c\le e^1<3</math> ולכן השארית חסומה ע"י <math>3\left|\int\limits_0^1\frac{x^{2n+2}}{(n+1)!}\mathrm dx\right|=\frac3{(2n+3)(n+1)!}</math>. אכן, עבור <math>n=7</math> זה מספיק קטן. לפי זה {{left|<math>\begin{align}\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx&\approx\int\limits_0^1\left(1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\frac{x^8}{4!}+\frac{x^{10}}{5!}+\frac{x^{12}}{6!}+\frac{x^{14}}{7!}\right)\mathrm dx\\&=\dots\\&\approx1.46263694626501\end{align}</math>}} השיטה הזאת לא תמיד מועילה כי <ol><li>לא כל פונקציה גזירה אינסוף מספיק פעמים כדי שנוכל לחשב <math>P_n(x)</math> ל-n כלשהוגדול די הצורך.</li><li>יש פונקציות בעלות אינסוף נגזרות שפשוט לא מקורבות היטב ע"י פיתוח טיילור, ובפרט על קטע ארוך.</li><li>יש פונקציות שקשה לחשב את פיתוח טיילור שלהן כי הוא תלוי בנגזרת מסדר גבוה.</li></ol># <h2>קירוב עעפ"פ י סכומי רימן. </h2>נניח ש-f רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נקח <math>n\in\mathbb N</math> כלשהו ונעשה חלוקה שווה של <math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> כאשר לכל k נגדיר <math>h=\frac{b-a}n=x_k-x_{k-1}</math> (כאשר h הוא אורך הפסיעה בין שתי נקודות החלוקה). הקירוב לאינטגרל נתון ע"י סכום רימן <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k=h\sum_{k-=1}^n f(x_k)</math>. כעת נניח ש-f בעלת נגזרת רציפה <math>f'</math> ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את סדר גודל הטעות בקירוב הנ"ל: מתקיים <math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x_k)\mathrm dx</math>. בתוך הקטע הקטן <math>[x_{k-1},x_k]</math> נסתמך על משפט לגראנז' לומר <math>f'(c)=\frac{f(x)-f(x_k)}{x-x_k}</math> עבור c בין x ל-<math>x_k</math>. נעביר אגף לומר <math>f(x)=f(x_k)+f'(c)(x-x_k)</math> ולכן <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x_k)\mathrm dx+\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f'(c)(x-x_k)\mathrm dx=f(x_k)(x_k-x_{k-1})+R_k</math>. <math>f(x_k)h</math> היא התרומה של קטע זה לסכום רימן. האינטגרל ו-<math>R_k=\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f'(c)(x-x_k)\mathrm dx</math> = הוא הטעות. כעת, אם נסמן <math>M=\max_{x\in[a,b]} \left|f'(x)\right|</math> נוכל להסיק {{left|<math>\begin{align}|R_k|&=\left|\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f'(c)(x-x_k)\mathrm dx\right|\\&=\leleft|f'(c)\right|\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} |f'(c)|(x_k-x-x_k)\mathrm dx\\&\le\frac{nMhMh^2}2\end{align}</math>}}יש בסה"כ n קטעים כאלה ולכן השארית הכללית חסומה ע"י <math>\&sum_{k=1}^n |R_k|\le n\frac{Mh^2}2=\frac{b-a}{2h}Mh^2\\&=\frac{b-a}2 Mh\end{align}</math>}}.