שינויים

=ישומים יישומים של אינטגרציה {{הערה|(המשך)}}=

<li>שטח הפנים של גוף סיבוב (ללא הבסיסים): נחלק את הקטע <math>[a,b]</math> לתתי קטעים <math>[x_{k-1},x_k]</math> עבור כמה k-ים. שטח הפנים הוא <math>2\pi rS</math> (כאשר r רדיוס הבסיס הגדול יותר של הקונוס הנוצר בקטע=<math>f(x_k)</math> וכן <math>S=\sqrt{1+f'(x_k)^2}\Delta x_k</math>. לפי זה שטטח שטח המעטפת כולו מקורב ע"י הסכום <math>\sum_{k=1}^n2\pi f(x_k)\sqrt{1+f'(x_k)^2}\Delta x_k</math>. כאשר <math>\lambda(P)\to0</math> ביטוי זה שואף לאינטגרל <math>\int\limits_a^b2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> והוא שטח המעטפת לגוף הסיבוב הנוצר ע"י סיבוב <math>y=f(x)</math> בין a ל-b סביב ציר ה-x.

נחשב את שטח המעטפת (=שטח הפנים) של כדור בעל רדיוס r: תשובה מתקיים <math>f'(x)=-\frac x{r^2-x^2}</math>. השטח הוא {{left|<math>\begin{align}\int\limits_{-r}^r 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx&=\int\limits_{-r}^r2\pi\sqrt{r^2-x^2}\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}\mathrm dx\\&=\int\limits_{-r}^r2\pi\sqrt{r^2-x^2+x^2}\mathrm dx\\&=2\pi[rx]_{x=-r}^r\\&=4\pi r^2\end{align}</math>}}

נשים לב כי שטח עיגול הוא <math>\pi r^2</math> והיקפו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\pi r^2}=2\pi r</math> כמו כן שטח נפח כדור הוא <math>4\frac43\pi r^23</math> ונפחו ושטחו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\frac43\pi r^3=4\pi r^2</math>. הסבר גרף 1. מכאן שתוספת השטח <math>\Delta A</math> בערך שווה ל-<math>2\pirpi r\Delta r</math>, ז"א <math>\frac{\Delta A}{\Delta r}\approx\frac{2\pi r\Delta r}{\Delta r}=2\pi r</math>. בגבול <math>\Delta r\to0</math> זה מדוייקמדויק: <math>\frac{\Delta A}{\Delta r}=2\pi r</math>.

<li>בפיזיקה, כאשר כוח <math>\vec F</math> קבוע פועל בקטע באורך s אומרים שהוא עשה עבודה <math>W=\vec Fs</math>.כעת נחשב את העבודה שנעשית ע"י כוח משתנה <math>F(x)</math> לאורך הקטע <math>x\in[a,b]</math>בציר הזמן. נעשה חלוקה <math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math>. בכל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math>, <math>F(x)</math> תקבל מקסימום <math>M_k</math> ומינימום <math>m_k</math> ולכן העבודה הנעשית ע"י F בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> (נקרא לה <math>W_k</math>) מקיימת <math>m_k\Delta x_k\le W_k\le M_k\Delta x</math>. בסה"כ העבודה לאורך הקטע היא <math>W=\sum_{k=1}^n W_k</math> כאשר <math>\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k\le W\le\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k</math>. יש כאן <math>\underline S(F,P)\le W\le \overline S(F,P)</math> כאשר וכאשר <math>\lambda(P)\to0</math> זה שואף לגבול אחד <math>W=\int\limits_a^b F(x)\mathrm dx</math>.

<li>החוק השני של ניוטון אומר <math>F=ma</math> ואם מדובר בחלקיק או אדם שהולך בקו ישר (על ציר ה-x) אז התנועה שלו מתוארת ע"י הפונקציה <math>x=x(t)</math> (לכל t נקודה בזמן). לפיכך מהירותו היא <math>v(t)=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}</math> ותאוצתו <math>a(t)=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}</math>. לפי ניוטון <math>F=ma=m\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}=m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}</math>. לפי כלל השרשרת אפשר לכתוב <math>\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}</math> ולכן <math>F=m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}v</math>. לכן העבודה שנעשית ע"י <math>F(x)</math> בין a ל-b היא {{left|<math>\begin{align}W&=\int\limits_a^b fF(x)\mathrm dx=\int\limits_a^b ma(x)\mathrm dx&=\int\limits_a^b m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dtdx}v\mathrm dx=\int\limits_a^b m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}v\mathrm dx&=\left[\frac{mv^2}2\right]_{x=a}^b\end{align}</math>. }} ז"א העבודה שווה לשינוי באינרגיה הקינטית.

נביא כאן 4 שיטותלקירוב של אינטגרל מסוים:# אינטגרציה בעזרת פיתוח טיילור. לדוגמה, נחשב <math>\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx</math> בדיוק של <math>10^{-6}</math>: כבר למדנו פיתוח טיילור לפונקציה <math>e^t</math>: <math>e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\dots+\frac{t^n}{n!}+R_n(t)</math> כאשר <math>R_n(t)=\frac{f^{(n+1)}(c)t^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{e^ct^{n+1}}{(n+1)!}</math> לאיזה c בין 0 ל-t. נציב <math>t=x^2</math>: <math>e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\dots+\frac{x^{2n}}{n!}+R_n\left(x^2}\right)</math>. לכן <math>\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx=\int\limits_0^1 P_n\left(x^2\right)\mathrm dx+\int\limits_0^1 R_n\left(x^2\right)\mathrm dx</math>. אנו זקוקים ל-n כך ש-<math>\left|\int\limits_0^1 R_n\left(x^2\right)\mathrm dx\right|=\left|\frac{e^cx^{2n+2}}{(n+1)!}\right|<10^{-6}</math>. לכל <math>x\in[0,1]</math> מתקיים <math>e^0\le e^c\le e^1<3</math> ולכן השארית חסומה ע"י <math>3\left|\int\limits_0^1\frac{x^{2n+2}}{(n+1)!}\mathrm dx\right|=\frac3{(2n+3)(n+1)!}</math>. ואכןאכן, עבור <math>n=7</math> זה מספיק קטן. לפי זה {{left|<math>\begin{align}\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx&\approx\int\limits_0^1\left(1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\frac{x^8}{4!}+\frac{x^{10}}{5!}+\frac{x^{12}}{6!}+\frac{x^{12}}{7!}\right)\mathrm dx\\&=\dots\\&\approx1.4626369\end{align}</math>. }} השיטה הזאת לא תמיד מועילה כי 1) <ol><li>לא כל פונקציה גזירה אינסוף פעמים כדי שנוכל לחשב <math>P_n(x)</math> ל-n כלשהו. 2) </li><li>יש פונקציות בעלות אינסוף נגזרות שפשוט לא מקורבות היטב ע"י פיתוח טיילור, ובפרט על קטע ארוך. 3) </li><li>יש פונקציות שקשה לחשב את פיתוח טיילור שלהן כי הוא תלוי בנגזרת מסדר גבוה.</li></ol># קירוב ע"פ סכומי רימן. נניח ש-f רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נקח <math>n\in\mathbb N</math> כלשהו ונעשה חלוקה שווה של <math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> כאשר לכל k נגדיר <math>h=\frac{b-a}n=x_k-x_{k-1}</math>. (כאשר h הוא אורך הפסיעה בין שתי נקודות החלוקה). הקירוב לאינטגרל נתון ע"י סכום רימן <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k=h\sum_{k-1}^n f(x_k)</math>. כעת נניח ש-f בעלת נגזרת רציפה <math>f'</math> ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את סדר גודל הטעות בקירוב הנ"ל: <math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x_k)\mathrm dx</math>. בתוך הקטע הקטן <math>[x_{k-1},x_k]</math> נסתמך על משפט לגראנז' לומר <math>f'(c)=\frac{f(x)-f(x_k)}{x-x_k}</math> עבור c בין x ל-<math>x_k</math>. נעביר אגף לומר <math>f(x)=f(x_k)+f'(c)(x-X_kx_k)</math> ולכן <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x_k})\mathrm dx+\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f'(c)(x-x_k)\mathrm dx=f(x_k)(x_k-x_{k-1})+R_k</math>. <math>f(x_k)h</math> היא התרומה של קטע זה לסכום רימן. האינטגרל <math>R_k</math> = הטעות. כעת, אם נסמן <math>mM=\max_{x\in[a,b]} |f'(x)|</math> ונוכל נוכל להסיק {{left|<math>\begin{align}|R_k|&=\left|\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f'(c)(x-x_k)\mathrm dx\right|\\&\le\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} |f'(c)|(x-x_k)\mathrm dx\\&\le\frac{nMh^2}2\\&=\frac{b-a}{2h}Mh^2\\&=\frac{b-a}2 Mh\end{align}</math>.}}