שינויים

{{הערההמשך הגיע|את תיאור=משפט 3 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-|תאריך=24.5.11. [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/24.5.11#continue|חלק זה]] מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.}}

# {{הערה|(דוגמה יותר קשה)}} נמצא פתרון כללי ל-<math>f''(x)-xf(x)=0</math> וגם פתרון כך ש-<math>f(0)=3\ \and\ f'(0)=-2</math>: נעיר שניתן להוכיח שהפתרון אינו פונקציה אלמנטרית ולכן אין טעם לנחש. במקום, נניח שיש פתרון מהסוג <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n</math> עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. לפיכך <math>f''(x)=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math>. צריך להתקיים <math>f''(x)=xf(x)</math> ולכן <math>\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}=\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n+1}</math> ולאחר הזזת אינדקסים נקבל: <math>\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n=\sum_{n=1}^\infty a_{n-1}x^n</math>. <span id="continue"><!--נא לא למחוק span זה--></span>{{הערההמשך סיכום|את ההמשך עשינו ב[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/תאריך=31.5.11|הרצאה שאחריה]]:}} ממשפט היחידות לטורי חזקות מתקיים <math>2a_2=0\ \and\ \forall n\ge1:\ (n+2)(n+1)a_{n+2}=a_{n-1}</math>. מכאן ש-<math>a_0,a_1</math> קבועים כלשהם, <math>a_2=0</math>, ו-<math>a_{n+2}=\frac{a_{n-1}}{(n+2)(n+1)}</math>, לכן <math>a_3=\frac{a_1}{3\cdot2},\ a_4=\frac{a_1}{4\cdot3},\ a_5=0,\ a_6=\frac{a_3}{6\cdot5}=\frac{a_0}{6\cdot5\cdot3\cdot2},\ a_7=\frac{a_1}{7\cdot6\cdot4\cdot3},\ a_8=0,\ \dots</math>. מכאן נובע ש-{{left|<math>\begin{align}f(x)&=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\\&=a_0+a_1x+\frac{a_1}{3\cdot2}x^3+\frac{a_1}{4\cdot3}x^4+\frac{a_0}{6\cdot5\cdot3\cdot2}x^6+\frac{a_1}{7\cdot6\cdot4\cdot3}x^7+\dots\\&=a_0\left(1+\frac{x^3}{3\cdot2}+\frac{x^5}{6\cdot5\cdot3\cdot2}+\dots\right)+a_1\left(x+\frac{x^4}{4\cdot3}+\frac{x^7}{7\cdot6\cdot4\cdot3}+\dots\right)\end{align}</math>}}נבדוק שהטורים האלה מתכנסים: בטור שמוכפל ב-<math>a_0</math>, היחס בין שני איברים עוקבים הוא <math>\left.\frac{x^{3n}}{3n(3n-1)(3n-3)(3n-4)\cdots}\right/\frac{x^{3n-3}}{(3n-3)(3n-4)\cdots}=\frac{x^3}{3n(3n-1)}</math>, ששואף ל-0, ולכן רדיוס ההתכנסות הוא (ממבחן המנה) <math>\infty</math>. באופן דומה מקבלים שרדיוס ההתכנסות של הטור המוכפל ב-<math>a_1</math> הוא <math>\infty</math> ולכן <math>f(x)</math> הנ"ל מוגדרת לכל x כך ש-<math>|x-0|<\infty</math>, כלומר <math>x\in\mathbb R</math>. לפי משפט 4 טורים אלו גזירים אינסוף פעמים ובפרט פעמיים ב-<math>\mathbb R</math>. כמו כן נעיר שניתן להוכיח שקיבלנו את הפתרון הכללי למד"ר, ולכן נותר רק לבדוק מתי <math>f(0)=3\ \and\ f'(0)=-2</math>: נזכר ש-<math>\forall n:\ a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}</math> ולכן <math>3=f^{(0)}(0)=0!a_0</math>, כלומר <math>a_0=3</math> וגם <math>-2=f^{(1)}(0)=1!a_1</math>, כלומר <math>a_1=-2</math>. מציבים ערכים אלו של <math>a_1,a_0</math> בפתרון הכללי שמצאנו ל-<math>f(x)</math> וסיימנו את התרגיל. {{משל}}